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1、量子最优化算法在金融业的应用研究报告北京金融科技产业联盟2024 年 1 月版权声明本报告版权属于北京金融科技产业联盟,并受法律保护。转载、编摘或利用其他方式使用本白皮书文字或观点的,应注明来源。违反上述声明者,将被追究相关法律责任。I编制委员会编委会成员:张晓东聂丽琴李晓栋吴磊编写组成员:郭贞巩博儒陈柄任陈慧高振涛蔚栋敏刘静沈超建温卓宇李昀李凯梁绍文王彦博杨璇王一多区颂廉庞宏启袁佩谢树欣何慧芸李仁刚赵雅倩姜金哲赵雪娇窦猛汉庄希宁钱菲郭坚陈亮田江杨郅贤谢卿张剑石广洲王鹏王继成编审:黄本涛巩博儒姚文韬II牵头编写单位:中国建设银行股份有限公司参编单位:中国工商银行股份有限公司中国银行股份有限公司
2、华夏银行股份有限公司深圳市腾讯计算机系统有限公司科大国盾量子技术股份有限公司浪潮电子信息产业股份有限公司本源量子计算科技(合肥)股份有限公司交通银行股份有限公司兴业银行股份有限公司浙商银行股份有限公司光大科技有限公司III目录版权声明.1一、引言.1(一)量子信息科学发展概述.1(二)量子最优化算法赋能金融.3二、金融应用中的优化问题.5(一)投资组合优化.5(二)套利.9(三)指数追踪.14(四)金融产品定价.21(五)风险控制.27(六)信用评分.33三、量子计算基础.39(一)量子计算机系统.40(二)量子计算模型.42(三)量子计算机物理实现与挑战.44四、QUBO 问题.47(一)Q
3、UBO 问题的基本描述.47(二)QUBO 的经典求解器.49(三)量子求解器.51五、量子优化算法.53(一)变分量子算法.53(二)变分虚时演化算法.60(三)量子近似优化算法.62(四)量子退火算法.69(五)Grover 算法.74(六)Grover 适应性搜索算法.81(七)HHL 算法.88(八)光量子相干伊辛机.93IV六、量子金融优化前景与展望.100(一)技术挑战.100(二)人才挑战.104(三)机遇与展望.106七、参考文献.110V图目录图 1参数化量子电路框架.54图 2量子电路.68图 3经典的热退火.72图 4量子退火和模拟退火的评价函数.72图 5量子搜索算法电
4、路示意图.77图 6Grover 迭代 G 的量子电路.78图 7Grover 初始态.79图 8Oracle 操作.80图 9G 操作.80图 10GAS 算法流程图.82图 11 相位估计算法第一阶段.84图 12 相位估计.84图 13c=2 的编码量子电路.85图 14c=2 的编码量子电路.86图 15 c=2.16 的编码观测结果.86图 16 2x1x2的编码量子电路.87图 17HHL 电路.90图 18光学延迟线型 CIM 实验装置示意图.96图 19反馈型 CIM 实验装置示意图.981一、引言(一一)量子信息科学发展概述)量子信息科学发展概述量子信息科学量子信息科学(Qu
5、antum Information Science,QIS)是一门新兴学科,它融合物理学、计算机科学和信息论等多个学科的理论和方法,旨在研究量子系统在信息处理和传输等方面的特性。自诞生以来,量子信息科学已经取得了显著的进展,在许多领域产生了广泛的应用和深远的影响。一般来说,量子信息科学的发展历程大致包含以下三个阶段:量子力学基础理论诞生阶段量子力学基础理论诞生阶段(1900s1930s)。1900 年,马克斯普朗克(Max Planck)提出了普朗克辐射定律,成功描述了黑体辐射,这标志着量子力学理论的诞生。1905 年,阿尔伯特爱因斯坦(Albert Einstein)提出光量子假说,成功解释
6、了光电效应。1913 年,尼尔斯玻尔(Niels Bohr)提出角动量量子化,成功解释了氢原子的发射和吸收光谱。1923 年,路易维克多德布罗意(Louis Victor de Broglie)提出波粒二象性。1924 年,沃尔夫冈泡利(Wolfgang Pauli)提出不相容原理。1927 年,沃纳海森堡(Werner Heisenberg)提出测不准原理。至此,经过众多物理学家开创性的研究与发现,量子力学的理论体系初步建成。量子力学理论完善与量子信息科学的萌芽阶段量子力学理论完善与量子信息科学的萌芽阶段(1930s1980s)。1930 年前后,量子力学的发展推动了量子电动力学的形成,规范
7、理论成为这一时期的代表性成果。1935 年,阿尔伯特爱因斯坦、鲍里斯波多尔斯基(Boris Podolsky)和纳森罗森2(Nathan Rosen)提出了 EPR 佯谬,对量子体系的完备性提出质疑。1954 年,杨振宁与罗伯特米尔斯(Robert Mills)共同提出了非阿贝尔规范场理论,为理解基本作用力和自然规律提供了框架。1964 年,约翰斯图尔特贝尔(John Stewart Bell)导出了双粒子自旋系统的贝尔不等式,使 EPR 佯谬的实验验证成为可能。1969 年,斯蒂芬威斯纳(Stephen Wiesner)提出了基于量子力学原理的计算设备。1973 年,亚历山大豪勒夫(Alex
8、ander Holevo)提出基于量子力学的信息处理。量子信息科学的快速发展阶段量子信息科学的快速发展阶段(1980s至今)。1981 年,理查德费曼(Richard Feynman)首次提出将量子力学理论与计算机技术相结合的设想。1984 年,查尔斯本内特(Charles Bennett)和吉尔布拉萨德(Gilles Brassard)开发了一种协议,通过量子力学实现更安全的通信。该协议称为BB84,由Bennett和Brassard名字的缩写以及提出年份组成,标志着量子密码的诞生。1985年,大卫杜齐(David Deutsch)提出了量子图灵机和量子计算的概念,并提出了第一个在理论上表明
9、量子计算优越性的量子算法1。1994 年,彼得秀尔(Peter Shor)提出了一个高效量子算法2,它可以在多项式时间内求解因数分解问题。1996 年,洛夫格罗弗(Lov Grover)提出了一个用于搜索无序数据库的量子算法3:相比于传统的搜索方法,该量子算法可有效降低搜索时间。进入 21 世纪,量子信息技术的应用迅速发展。201120133年,中国科学家在青海湖实现了双向量子纠缠分发和量子隐形传态,验证了量子通信卫星技术的可行性。2017 年,中国科学技术大学(下称“中科大”)研究团队等实现了星地双向量子纠缠分发;同年,中科大团队牵头成功制造出了世界上第一台光量子计算机;此外,中国开通了世界
10、上第一条量子保密通信干线京沪干线。2019 年,谷歌发布 53 量子比特的“悬铃木”(Sycamore)量子计算原型机,并据此宣称实现了所谓的“量子霸权”。2021年,中科大研究团队相继发布了 66 超导量子计算原型机祖冲之号和祖冲之二号,在“量子随机线路取样”难题上实现了量子计算优越性,计算复杂度比 Google 公开发布的“悬铃木”量子计算原型机高出了 6 个数量级。2022 年,IBM 推出 433 量子比特的量子计算原型机“鱼鹰”(Osprey),成为量子比特规模最大的超导量子计算机。(二二)量子最优化算法赋能金融)量子最优化算法赋能金融量子算法量子算法是一种利用量子力学原理,如叠加态
11、、纠缠态和量子隧穿效应等进行计算的算法。其中,量子最优化算法量子最优化算法是一类较为常用的量子算法,它通过求解最优化问题给出目标函数的最值。与经典的优化算法相比,量子最优化算法具有更优的计算效率和更高的精度。量子最优化算法可以应用于各种优化问题,如组合优化、线性规划以及非线性规划等。由于计算能力和模型的局限,经典算法在金融领域面临着一些计算难度问题。例如,在求解连续多项式优化问题时,经典算4法可以利用微分理论进行快速求解,然而对于离散多项式优化问题,经典算法通常采用分支定界法,但其计算消耗时间较长。相比之下,量子最优化算法可以并行处理金融数据,从而提高计算效率和精度。具体来说,在金融领域中量子
12、最优化算法可以在以下两个方面展示出计算优越性:(1)时间优越性时间优越性:量子算法利用酉矩阵作为计算单位,可以一次性处理多个变量。一个?比特的量子系统可以同时处理2?个变量。(2)空间优越性:空间优越性:量子的叠加性可以将多个状态同时编码为一个量子态。一个?量子比特态可以同时编码2?个状态。总之,量子算法在金融领域中具有许多优势和应用前景,可以帮助金融机构更好地解决一些经典算法难以处理的问题和瓶颈,从而提高其业务水平和竞争力。当然,目前量子算法还处于发展初期,其实际应用仍需进一步探索和研究。根据麦肯锡的一份报告中指出4,到 2035 年,量子计算将为金融领域的优化问题带来约 1.2 万亿美元的
13、价值,这几乎占据了金融领域总价值的60%以上。这无疑展现出量子最优化算法在金融领域的巨大潜力和市场价值。一旦进入量子计算机实用化阶段,量子最优化算法将有助于提高投资组合管理、交易策略等方面的效率和准确性。在接下来的内容中,第二章主要对金融领域的各种优化问题进行分析和说明。第三章系统地介绍量子计算机的系统和模型,全面阐述其物理实现和所面临的挑战。第四章着重介绍 QUBO5问题的基本理论以及该问题的经典求解器和量子求解器。第五章详细介绍多种量子优化算法,包括变分量子算法、量子退火算法以及量子近似优化算法等。第六章主要对当前量子金融优化领域所遇到的技术和人才挑战进行深入分析,并结合量子信息科学技术的
14、发展状况,提出相应的建议。二、金融应用中的优化问题在金融领域中,利用数学模型和算法寻找最优或近似最优解的方案被称为金融优化算法。这些优化算法涵盖许多方面,例如投资组合优化、金融产品定价、风险管理以及套利等。由于这些问题通常具有一定的复杂性和不确定性,因此需要借助最优化理论和方法来求解。下面将对金融领域涉及的多个优化场景进行详细介绍。(一)投资组合优化(一)投资组合优化1.投资组合优化的投资组合优化的定义定义投资组合优化是一种重要的金融策略,其核心目标是通过合理地配置不同资产(例如股票、债券、房地产等)来实现明确的投资目标。这些目标可以包括最大化预期回报、最小化投资风险,或者在这两者之间找到平衡
15、。这里强调的是,在不同市场情况下,投资组合优化需要维持稳健的投资绩效,关键在于平衡风险和回报。投资组合优化之所以如此重要,主要是包括以下几个关键原因:6(1)有利于分散风险有利于分散风险:通过将资金分散投资在不同的资产类别和标的物上,投资者可以降低单一投资的风险。这有助于保护资本免受市场波动的影响。(2)最大化回报最大化回报:投资组合优化可以帮助投资者找到在给定风险水平下实现最大的预期回报的资产配置。这对于实现财务目标至关重要。(3)有利于风险管理有利于风险管理:投资组合优化还允许投资者根据其风险偏好构建投资组合,以确保他们可以在市场波动时保持冷静。2.投资组合优化的步骤投资组合优化的步骤投资
16、组合优化算法大体可分为以下五个步骤:(1)目标设定目标设定:首先,投资者需要明确定义他们的投资目标,包括风险承受能力、期望回报和投资时间框架。(2)资产选择资产选择:接下来,投资者需要精选不同的资产类别,如股票、债券、现金等,以包含在投资组合中。(3)风险风险回报评估回报评估:对每种资产进行风险和回报的评估是关键的一步。通常,这涉及分析历史数据以估算资产的预期回报和风险。(4)投资组合构建投资组合构建:基于风险和回报的评估,投资者可以构建不同的投资组合。现代投资组合理论建议使用数学模型来找到最佳的资产配置。(5)监控和重新平衡监控和重新平衡:一旦投资组合建立,投资者需要定期监控其绩效,并根据市
17、场变化进行重新平衡,以确保其仍然符7合投资目标。3.投资组合优化投资组合优化最优化模型最优化模型投资组合优化的历史可以追溯到 20 世纪中期,以下是一些重要的发展阶段:(1)均值均值-方差模型方差模型5哈里马科维茨在 1952 年提出了均值-方差模型,这是现代投资组合理论的奠基之作。该模型强调了通过分散投资来降低风险的重要性,以及如何在预期回报和方差之间找到最佳权衡。其核心思想是,投资者在构建投资组合时应该考虑资产的预期回报和风险(用方差来衡量)。他强调了通过分散投资,即将资金分布在多个不相关资产上,可以有效地降低整体风险,从而实现更好的风险-回报权衡。均值-方差模型为投资者提供了一种系统方法
18、来构建投资组合,可以在给定风险水平下实现最大的预期回报。这一模型推动了投资组合理论的演进,成为后续投资组合优化方法的基础。其具体模型为:?s.t.?=1?=1?其中?为利率的协方差矩阵,?为利率期望,?为目标利率。该模型的含义为在所有期望利率不小于目标利率的投资组合中,8寻找风险最小的投资组合。(2)资本资产定价模型资本资产定价模型6在 20 世纪 60 年代,研究者如威廉夏普、约翰极尔肯和迪维德布莱克提出了资本资产定价模型(Capital Asset PricingModel,CAPM),该模型假定投资者在风险无风险利率的基础上,对资产的风险有不同的需求。它解释了资产回报与市场风险之间的关系
19、,通过资产的贝塔系数(Beta)来描述这种关系。CAPM 为投资者提供了一种方法来估算资产的预期回报,基于市场的整体风险。它强调了市场风险对资产定价的重要性,成为资产定价理论的重要组成部分。(3)有效市场假说模型有效市场假说模型720 世纪 70 年代,尤金法玛和保罗萨缪尔森等经济学家提出了有效市场假说(Efficient Markets Hypothesis,EMH),该假说认为市场价格已经反映了所有可用信息,因此投资者无法通过分析信息来获得超额回报。根据不同的信息集合水平,EMH可分为三种形式:弱式、半强式和强式。EMH 对理解市场行为和投资效率产生了深远的影响。它强调了市场的高效性,对投
20、资者来说,难以获得超越市场平均水平的回报,因此推动了passively 管理的指数基金的兴起。(4)多因子模型和风险因子模型多因子模型和风险因子模型在 20 世纪 80 年代和 90 年代,研究者开始探索更复杂的投资组合模型。多因子模型是对传统 CAPM 的扩展,考虑了除市9场风险之外的其他因素对资产回报的影响。这些因素包括规模、价值、动量等。研究者发现,这些因子可以解释市场中不同资产的回报差异,有助于更精确地构建投资组合。这些多因子模型增加了对风险和回报的理解。多因子模型拓宽了投资组合优化的视野,允许投资者更全面地考虑风险和回报因素,以更好地构建投资组合并解释市场表现。(5)行为金融学模型行
21、为金融学模型21 世纪初,行为金融学开始影响投资组合优化。行为金融学研究了投资者的心理偏见和非理性行为如何影响投资决策。这些偏见包括过度自信、损失厌恶、羊群行为等。行为金融学将心理学和经济学结合起来,提供了一种不同于传统理性决策模型的视角。行为金融学的兴起强调了投资决策中的非理性因素,为投资组合构建增加了更多的复杂性。投资者现在更关注情感和行为因素如何影响他们的投资策略。综上所述,投资组合优化是金融领域的关键概念,它可以帮助投资者更好地管理风险、提高回报,并随着时间的推移不断演进以适应不断变化的市场环境和投资理论。这个领域不断发展,以适应金融市场的变化和新的研究成果,帮助投资者更好地管理他们的
22、投资并实现他们的财务目标。(二)套利(二)套利1.套利的定义套利的定义套利8是一种利用资产价格波动的投资策略,通过同一个或10多个市场中的差异来获得利润,而不涉及任何风险的情况。在金融领域中,套利通常指在某种实物资产或金融资产(在同一市场或不同市场)拥有两个价格的情况下,以较低的价格买进,较高的价格卖出,从而获取低风险的收益。它在金融中发挥着重要的作用。2.套利的类型套利的类型套利有多种形式,以下是一些常见的套利类型:(1)公司并购套利公司并购套利:利用被收购公司和收购公司股价之间的价差进行套利。并购套利者通过同时做多被收购公司股票和做空收购公司股票进行套利。套利者相信一旦并购完成,被收购公司
23、和收购公司的股价价差将会缩小,从而获取利润。不过并购交易可能会被取消,股价价差反而扩大,从而带来风险。(2)市政债券套利市政债券套利:利用市政债券相对价值之间的偏离来获利。市政债券套利主要有两种形式:一种是通过做多定价过低的债券和做空定价过高的债券来获取价差利润;另一种是通过以杠杆做多 AAA-或 AA-级的免税市政债券,再通过做空公司债券或利率互换等方法进行对冲,利用市政债券长期收益率高于公司债券的优势进行套利。市政债券套利存在基差风险,且本金的波动幅度过大难以完全对冲,但是长期来看,市政债券和利率互换具有较高的相关性,从而具有一定的收益优势。(3)可转换债券套利可转换债券套利:利用可转换债
24、券的设计,通过复杂的数量模型来判断某种债券的价格是否偏离“理论值”,并在可11转换债券价格低于理论价值时,通过做多并对冲利率风险、企业信用评级下降风险以及买入信贷违约互换等方法来获取利润。可转换债券套利的风险来自于定价的不确定性和企业财务状况的变动。但与其他套利类型相比,可转换债券套利的收益率通常较为稳定,因为企业的财务表现通常是缓慢而稳定的过程。(4)存托凭证套利存托凭证套利:基于存托凭证发行价值与实际股票价值存在较大差异,套利者通过做多存托凭证,做空对应股票,等待两者价差回归正常范围来获利。存托凭证套利的风险来自于交易成本和汇率风险等。存托凭证套利在折价发行的情况下是一种低风险、低成本的投
25、资策略,但需了解股票市场交易因素的不确定性,从而选择合适的交易市场和合适的资产。(5)两地上市企业股票套利两地上市企业股票套利:同一家企业在不同市场上的股票价格偏差。套利者可以通过做空估值过高股票和做多被低估股票,等待价格差回归正常范围来获利。两地上市企业股票套利的风险包括市场变化、交易成本和头寸风险等。追求股价差异的套利者可能需要等待长时间才能获得盈利,甚至可能面临价格差异进一步扩大或无法及时操纵股价等风险。此外,两地上市企业股票套利通常需要及时了解公司的财务信息和市场供需情况,以及两个市场的法律、制度和交易方式的差异。3.套利的最优化模型套利的最优化模型本节将介绍两种套利方法的最优化模型,
26、第一种是基于债券套利的模型,第二种是基于利率套利的模型。12(1)期权套利模型期权套利模型9考虑一个时刻 0 价格为?和时刻 1 价格为?1的标的证券。考虑到时刻 1,基于这种证券的?种衍生期权或其他金融衍生品,第 i 个衍生期权的价值为一个分段线性函数?1=?1?,?是行权价格。那么对于衍生期权1衍生期权?的投资组合?=?1?2?),其收益函数为:?1=?=1?1?记在时刻 0 下第 i 个衍生期权的成本为?,则对于投资组合?的成本为:?=1?为了确定金融衍生品在?处是否产生套利机会,需要考虑对所有可能的?1,收益函数为非负的情况下,哪一种的成本是最便宜的。因此,该模型可以被建模为下述优化问
27、题:?=1?.?.?=1?)?=1?)?=1?=1?1)?)?13该优化问题的成本函数使得构造该投资组合的成本最小。考虑到期权的收益函数是一个分段函数,那么多种期权的线性叠加是一个具有多段的分段函数。间断点就是每个期权的行权价格?。考虑到套利是无风险的,那么无论标的证券在时刻 1 的价格是多少,套利策略均应该获利。因此第一项和第二项约束条件,保证了标的证券在时刻 1 价格无论是 0 还是任意间断点?时收益函数均大于等于 0。而又因为分段函数在分段点时斜率是正的,因此有第三项约束条件。(2)汇率套利模型汇率套利模型10汇率套利模型指的是市场上有多种货币,从货币 i 到货币 j的汇率为?。记?表示
28、是否进行货币 i 到货币 j 的利率兑换,若为 1 则认为存在直接从货币 i 到货币 j 的兑换,反正则不存在。那么汇率套利模型满足:?t?=?th?.?.?=?t?=1?=?t?1?t?=1?.考虑到一组兑换流程?。一开始持有 1 单位的货币?,兑换为货币?后获得?的货币?。再次兑换为货币?后,获得?的货币?。上述流程若将货币换回货币?则获得?数量的货币?。若套利存在,则存在?1。14将上述对数化后则有成本函数?log?。在货币兑换过程中,可能会有多次从其他货币流入到某货币的兑换过程,但是每一次也都会从此货币流出。流入量与流出量应相等。因此约束条件?=?需对每个货币?都成立。(三)指数追踪(
29、三)指数追踪1.1.指数追踪的定义指数追踪的定义指数追踪11,12是一种被动式投资策略,旨在跟踪特定市场指数的表现。投资者通常通过资产组合构建的方式来追踪市场指数,以实现在市场中获得整体市场表现的目标。指数追踪在全球范围内广受认可,是许多投资者的首选投资策略之一。指数追踪的目的是尽可能地接近或超越市场指数的收益,同时降低管理费用和交易成本。用数学语言描述就是,选择一个?种股票的目标总体,选择?种股票来尽可能代表目标总体。它的优点在于简单、透明、低成本、多样化和有效。但是,指数追踪的缺陷在于无法根据市场变化进行主动调整并且可能存在跟踪误差和流动性风险等问题。因此,投资者在进行指数追踪投资时需要充
30、分了解市场情况和指数追踪基金(ETF)的基本特征,并制定完善的投资规划和风险管理策略,以获得最佳的投资效果。在指数追踪的实践中,一个关键的问题是如何选择跟踪的市场指数和对应的 ETF。市场指数是一组代表某一市场或行业的股票或其他资产的加权平均值。不同的市场指数代表着不同的市场细分领域,例如全球范围内最广泛使用的标普 500 指数代表着美15国股市的表现,上证全指则代表着中国 A 股市场的整体表现。市场指数可以反映市场的整体走势和风险收益特征,也可以作为投资者的基准或目标。ETF 是一种交易所交易型基金,它们可以像股票一样在证券交易所上市交易。ETF 通常使用完全复制或抽样复制的方法来构建与市场
31、指数相同或相似的投资组合。选择适当的 ETF 是指数追踪的核心,一个好的 ETF 应该具有低管理费用、低跟踪误差、充足的流动性、宽松的市场准入和税收优惠等特点。2.2.指数追踪的技术路线指数追踪的技术路线指数追踪算法包含以下几个技术路线:(1 1)基于基于优化方法优化方法的经典指数追踪的经典指数追踪13一般而言,基于优化方法的指数追踪技术采用 TEV(追踪误差方差)最小化模型。然而,优化方法在被动投资领域中存在着缺点。首先,股票指数是组合内股票的一个线性组合,导致针对股票指数的追踪误差最小化模型包含了大量噪音,在高波动市场中表现极不稳定。其次,由于采用了相关系数来测量协同波动,存在一些缺陷:(
32、i)只能使用平稳数据,如股票收益率,而股票价格的差分序列会损失一些有用信息;(ii)相关系数只是一个短期统计量,缺乏稳定性;(iii)相关系数依赖于估计模型,易受异常值、非平稳序列或波动率聚集等影响,在长期时间序列中可能会得出错误的结16论。对金融时间序列中相依性的测度,Embrechts、Lindskog 和McNeil14作出了全面综述。(2 2)基于协整的经典指数追踪基于协整的经典指数追踪基于上述缺陷,金融计量学家和金融实践者开始采用协整模型来捕捉长期均衡的相依性。协整是一种异常强大的工具,最大的贡献在于将相关性的概念推广到非平稳数据。Clive Granger15在协整理论领域中有着先
33、驱性的研究成果,由于其贡献,该成果在 2003 年获得了诺贝尔经济学奖。基于协整的经典指数追踪是一种金融工程中的定量投资策略,旨在实现对某一特定市场指数的跟踪。在实践中,这种策略利用协整关系来构建投资组合,并通过市场交易进行管理。协整关系是指两个或多个时间序列之间的长期关系。在金融领域中,协整通常被用来寻找具有类似经济基本面的股票或资产。经典指数追踪的基本思想是,通过购买与目标指数协整的股票投资组合,来实现对该指数的跟踪。Axlander16于 1999 年首次提出该方法,该方法利用股票价格和指数之间的协整关系进行投资组合构建。该方法基于三个关键点:首先,股票组合和标的指数的价格差异是平稳的,
34、从而保证了长期稳定性,使得追踪组合与标的指数在长期中是紧密关联的;其次,采用历史数据计算的股票权重相对稳定;第三,采用该方法建立的投资组合的跟踪误差为均值回复的随机过程,不存在系统性误差。通过协整建立17最优的追踪组合可以分为两个步骤:首先,筛选股票进入追踪组合;其次,根据协整系数建立组合中最优的股票持仓比例。在股票选择的第一步中,可以采用多种方法,例如选股模型、技术分析或基金经理的选股技巧,然而,在该协整指数追踪方法中,股票选择的成功并不是重点,因为该方法关注的重点是追踪指数的表现,而不是超越指数表现。因此,可以通过选择在指数中权重较大的股票进入追踪组合来简化该步骤。在第二步骤中,需要根据协
35、整关系确定进入追踪组合的股票的持仓比例,协整方法可以利用组合管制模型,在建立期前的样本数据中使用对数指数价格对对数股票价格的最小二乘法(Ordinary Least Square,OLS)确定协整方程中的系数,从而确定持股比例,并可以加入其他约束条件,例如卖空约束和单只股票最大投资比例等。(3 3)基于协整的增强型指数追踪基于协整的增强型指数追踪除了通过协整追踪指数表现,对上面的方法稍加扩展,该方法还可以应用于增强型指数追踪17。通过在标的指数年收益率上加上预设的?,可以构建一个与标的指数加上预设?具有协整关系的追踪组合。这样,即可构建一个跟踪市场上不存在的“人造指数”(Artificial
36、Index)的投资策略,同时也可以实现正的超额收益率。需要特别注意的是,超额收益率?的设定必须合理,不合理的设置会导致严重后果。(4 4)基于协整的多头基于协整的多头/空头统计套利策略空头统计套利策略最后,既然能够通过协整方法找到超越市场表现的追踪组合,18也应该能找到低于市场表现的追踪组合。该方法也可应用于多头/空头统计套利策略。可以做多优势组合,同时做空劣势组合,构建一个市场中性的多头空头投资策略。需要注意的是,追踪组合中的股票权重不一定全都为正,而在劣势组合中则可能存在空头头寸。在基于协整的统计套利策略中,多头和空头的股票相互抵消,即净持仓数量。这里的市场中性指市场的总体运行趋势不影响到
37、投资策略的收益,而该策略的收益由多头和空头组合的收益差决定,也就是所谓的对冲。3.3.指数追踪的最优化模型指数追踪的最优化模型本节将介绍指数追踪的两个最优化模型,分别为大规模确定性模型以及指数追踪成本最小模型。(1)大规模确定性模型假设存在一个模型:将相似的资产进行分类,从每类中选取具有代表性的资产组合成指数。那么定义?衡量资产?与资产?的相关性。其中?=1,?1。若两只股票越相似则?越接近 1。在这样一个问题中具有下列优化问题:?t?=1?=1?.?.?=1?=?=1?=1?=1?=1?=1?=?或1?=1?=1?19其中yj描述了资产 j 是否被纳入到指数中,若纳入,则为 1,反之为 0。
38、约束条件要求,该指数由 q 个资产组成。xij表示资产j 是否是资产 i 最接近的资产,若是则为 1,反之为 0。约束j=1n?xij=1 保证了每种资产 i 只能由一支最相似的资产 j 组成。而xij yj确保了资产 i 一定存在能被与其关系最密切的资产所代表。在 S&P 500 基金中,存在 250000 个变量?和 250000 个约束条件?,因此该模型十分复杂,存在算力瓶颈。(2)指数追踪成本最小模型指数追踪成本最小模型在以最小成本进行投资组合再平衡时,指数追踪成本最小模型方法特别有用。这种方法假设已经确定了要跟踪的市场指数的重要特征。这些特征可能包括关于某个特征?的百分比?,例如,在
39、各种范围(小、中、大)内市值占比的公司比例、不支付股息的公司比例、每个地区的公司比例等。假设希望的指数基金尽可能地跟踪这样的?个特征。如果第?个公司具有特征?,则设t?为 1,否则为 0。假设?表示投资组合中资产?的最佳权重。假定初始投资组合的权重为?。令?表示做多的资产?的比例,?表示做空的资产?的比例。重新平衡投资组合的最小成本模型如下:20?=1?s.t.?=1?t?=?=1?=1?=1?=1?=1?=1?=1?=1?其成本函数保证了纳入投资组合的资产比例最小,确保投资者付出最小的成本。同时约束条件保证了,在投资组合中关于某个特征?的百分比恰好为?。(3)基于指数追踪误差约束的投资组合优
40、化模型基于指数追踪误差约束的投资组合优化模型基于指数追踪误差(Tracking Error Volatility,TEV)约束的投资组合优化模型认为一个资产的权重被分为两个部分:第一部分是指数权重?,第二部分是资产在指数上的误差?。当给定收益率期望?以及收益率协方差?后,可以得到:?=?=指数收益期望?2=?=指数收益协方差?=?=超出收益期望?2=?=?=指数追踪误差21?=?)?=?=投资组合收益率期望?2=?)?)=?2?2?=投资组合收益率方差进而有下列优化模型18:Max?s.t.?1=?=?)?)=?2约束的第一项保证了所有资产的指数误差的和为 0,而第二项将 TEV 约束为一个固
41、定值,第三项固定了投资组合收益率方差。该模型可以改变?2进而追踪 TEV 边界。(四)金融产品定价(四)金融产品定价1.1.金融产品定价的定义金融产品定价的定义金融产品定价是指确定金融产品(如债券、股票、期权、期货、衍生品等)的公允价值或市场价格的过程。定价是金融市场中的核心活动之一,涉及到衡量和评估金融产品的价值,以便投资者能够做出明智的投资决策。金融产品的定价是金融市场运作的核心,对于投资者、金融机构和整个金融体系的稳定具有重要意义。金融产品的定价是基于一系列因素和理论基础进行的。其中最重要的因素包括:(1)标的资产特征标的资产特征:金融产品的定价受到标的资产特征的影响。不同类型的金融产品
42、具有不同的特征,如债券的到期日期、22票面利率和付息方式,股票的盈利能力和股息政策等。这些特征会影响金融产品的现金流量模式和风险水平,从而影响其定价。(2)市场供需关系市场供需关系:市场供需关系对金融产品的定价有重要影响。供需关系反映了市场上投资者对金融产品的需求和供应情况。如果市场上对某种金融产品的需求大于供应,价格往往会上涨;反之,如果供应大于需求,价格往往会下跌。(3)风险和回报风险和回报:金融产品的定价需要考虑与之相关的风险和预期回报。投资者通常希望通过持有金融产品获取一定的回报,但同时也需要承担相应的风险。因此,定价模型通常会考虑资产的风险特征和市场预期回报水平。金融产品定价的目标是
43、确定一个公允的价格,使买方和卖方在交易中都能够获得合理的价值,使市场价格与资产的内在价值相一致,即实现市场的有效定价。这有助于确保市场的有效性和公平性,并促进金融市场的流动性和稳定性。2.金融产品定价方法金融产品定价方法金融产品定价的方法和模型有多种,如折现现金流量模型、期权定价模型(如布莱克-斯科尔斯模型)、市场定价模型等。这些方法和模型分析现金流量、市场因素和风险等,并运用数学和统计工具来估计和计算金融产品的公允价值或市场价格。(1)传统定价方法传统定价方法传统定价方法是指在金融学中广泛应用的基于经济学和金融理论的定价方法。这些方法基于一定的假设和模型,通过分析23资产的现金流量、市场因素
44、和投资者行为等因素,来估计和计算金融产品的公允价值或市场价格。主要模型包括现金流量贴现模型(Discounted Cash Flow Model,DCFM)19和资本资产定价模型(CapitalAsset Pricing Model,CAPM)20。DCFM 模型基于未来现金流量的贴现来确定金融产品的价值。它将未来预期的现金流量以及考虑到风险和时间价值的贴现率进行计算。这个模型通常应用于估计债券和股票等现金流量型资产的价格。CAPM 模型用于估计资产的预期回报率。它基于市场的系统风险和资产的特异风险来确定资产的期望收益率。CAPM 模型使用了市场风险溢价、资产的贝塔系数和无风险利率等因素来计算
45、资产的预期回报率。(2)衍生品定价方法衍生品定价方法衍生品定价方法是金融学中用于确定衍生品合理价格的数学模型和技术。衍生品是一种金融工具,其价值是基于标的资产的价格变动而变动的,衍生品定价方法主要应用于衍生品市场,例如期权、期货、掉期等。衍生品定价方法旨在根据市场因素、标的资产特征、市场波动率、期限结构和合约条款等因素,计算衍生品的公允价值。在衍生品定价模型中主要包括布莱克-斯科尔斯模型(Black-Scholes Model,BSM)21和考克斯-因格尔斯模型(Cox-Ingersoll-Ross Model,CIRM)22。BSM 是一个经典的期权定价模型,适用于欧式期权。它基24于对数几
46、何布朗运动的假设,通过考虑期权的到期时间、行权价格、标的资产价格、无风险利率和市场波动率等因素,计算期权的理论价格。CIRM 是一种用于定价期权的数学模型,适用于包含随机波动率的期权定价。这个模型假设了波动率是随机的,并且在时间上是均匀分布的。它可以更准确地定价包含随机波动率的期权。(3)市场定价方法市场定价方法市场定价方法是根据市场供求关系和交易数据来确定金融产品的价格。这种方法更加注重市场的实际交易情况,可以更准确地反映金融产品的价值。市场定价方法主要依赖于市场上的价格发现机制和交易活动。例如,股票的定价可以参考市场上的交易价格和成交量,债券的定价可以参考债券市场上的收益率曲线和类似债券的
47、交易价格等。(4)结构化产品定价方法结构化产品定价方法结构化产品定价方法主要应用于复杂的金融产品,如结构化债券、衍生品组合和其他组合型金融工具。这些产品通常由多个基础资产的组合构成,并具有复杂的收益模式。结构化产品定价方法需要考虑多个因素,包括基础资产的相关性、波动率、利率曲线、期限结构、回报分布等。常用的方法包括蒙特卡洛模拟、树型模型和数值方法等,用于模拟和计算复杂金融产品的预期收益和风险。25这些方法是金融产品定价中常用的方法,每个方法都有其特定的优势和适用范围。根据具体的金融产品和市场条件,金融机构和投资者可以选择适合的定价模型和方法来确定金融产品的价格。3.3.金融产品定价的最优化模型
48、金融产品定价的最优化模型下面给出了一个利用动态规划方案解决美式期权定价问题的过程9。动态规划问题最重要的特点是决策过程的多阶段性,每个动态规划都是先鉴别与决策顺序相关的阶段,且每个阶段的状态集是有限的。状态集通常由?)表示,其在不同场景下表示的意义不同。例如,在背包问题中,?表示只考虑前?个物品装入背包时的可能性,而?表示不同可能性后背包剩余的空间;在投资问题中,?表示只考虑投资于前?个项目的可能性,而?表示不同可能性后投资的资金;在下面提到的美式期权定价问题中,?表示只考虑前?天股票的波动情况,而?表示不同可能性后股票的价格。动态规划在不同状态集间都存在一个成本函数,初始态?)的成本函数已知
49、,而后续?)的成本函数,往往与?1?1 和?1?的成本函数有关。现在回到美式期权定价问题。对一个给定的股票,令?为它在第 k 天的价格,有:?=?1?其中,?是从第 k-1 天到第 k 天的价格变化。股票价格的随26机游走模型假定随机变量?是独立同分布的,且与已知的初始价格?独立。令?)表示最大期望利润,其中?表示股票价格,?表示尚有?天期权到期。可以用动态规划来计算这个资产的期权价值,从到期日 T(阶段?)逆序递归到阶段 0(现阶段)。动态规划的阶段为?=?1?2?.?,而在给定阶段中,状态是网格中的结点。因此,阶段k 有 k+1 个状态,记为 j=0,1,.,k。阶段 N 的结点称为终端结
50、点。从一个非终端结点 j 可以到下一阶段的结点 j+1(向上游走),或结点 j-1(向下游走)从阶段 0 开始,为了到达阶段 k 的结点 j,必须使其在阶段 0 和阶段 N 之间向上移动 j 步,向下移动 k-j 步。将阶段?中结点 j 的期权价值记为?),则时刻 0 的期权价值为?)。到期日的期权价值由支付公式给出,即看涨期权为?t?),看跌期权为?t?),其中 c 为执行价格,S为到期日资产价格。在二项式网格中 N 步以后,节点 j 处资产价格为?。因此终端结点的期权值为:看涨期权?)=?t?)看跌期权?)=?t?)已知?1?)和?1?1),可以用风险中性概率计算得到?)的值。?=?,?=
51、?27其中,R=1+r,r 是一阶段的无风险资产收益率。对于欧式期权,?)的值为:?)=1?1?1)?1?)对于一个美式看涨期权,有:?)=?t?1?1?1)?1?)?对于一个美式看跌期权,有:?)=?t?1?1?1)?1?)?进而,上述问题可使用动态规划求解。(五)风险控制(五)风险控制1.1.风险控制的定义风险控制的定义风险控制是指采取一系列措施和方法来管理和降低潜在风险的过程。金融机构、企业或个人为了保护自身利益、确保可持续稳定经营,会进行相应的风险控制活动。风险控制的核心目标是,在面临多种风险的情况下,最大限度地减少潜在损失,并确保金融机构或企业能够承受未预料到的风险事件。通过风险控制
52、这一手段,组织可以对风险进行预测、识别、评估以及监控,从而采取适当的措施来降低或管理这些风险。风险控制主要包含以下内容:(1)风险识别和评估风险识别和评估:风险控制的第一步是识别和评估可能存在的风险。这包括对内部和外部环境进行全面分析,了解各种风险类型、风险因素和潜在风险事件。(2)风险监控风险监控:一旦风险被识别和评估,就需要建立有效28的风险监控机制来及时捕捉风险信号。这可以通过监测关键指标、设置警戒线、实施实时监控和利用技术工具等手段来实现。(3)风险防范和规避风险防范和规避:风险控制的目标之一是尽可能地防范和规避风险。这包括采取预防性措施,制定政策和规程,确保合规性,以及遵循最佳实践和
53、行业标准来降低风险发生的可能性。(4)风险转移和分散风险转移和分散:在某些情况下,风险无法完全避免,因此风险控制还包括将风险转移给其他实体或通过分散投资组合来降低风险。这可以通过购买保险、与合作伙伴共享风险、多样化投资组合等方式来实现。(5)风险应对和管理风险应对和管理:在风险发生时,风险控制需要制定和实施相应的应对策略和措施。这可能包括灵活调整业务模式、加强内部控制、优化资本结构、进行危机管理等。风险控制是一种持续的、系统化的管理过程,通过识别、评估、监控和应对风险,以降低潜在损失并确保持续经营的能力。它在金融行业中起着至关重要的作用,有助于维护金融体系的稳定和可持续发展。2.2.风险控制的
54、发展过程风险控制的发展过程风险控制在金融行业的应用可以追溯到早期的信用风险管理。随着金融市场的不断发展和创新,风险控制范围逐渐扩大,包括市场风险、操作风险、流动性风险等。风险控制方法和技术也在不断进步,从最初的人工判断和规则制定,逐渐发展到基于模型和算法的风险控制。29风险控制的发展经历了不断演变和改进的过程。下面是风险控制发展的几个关键阶段:(1)早期阶段:早期阶段:在风险控制的早期阶段,主要依靠人工经验和判断来管理风险。这种方法依赖于从业人员的知识和经验,通过制定一些规则和限制来管理风险。例如,在贷款领域,风险控制可能涉及设置贷款额度上限、审查借款人的信用记录等。(2)规则模型阶段:规则模
55、型阶段:随着金融业务的增加和复杂化,单纯的人工判断和规则制定逐渐显得不够高效和准确。因此,规则模型逐渐被引入风险控制过程中。规则模型是基于预先设定的规则和条件进行风险评估的模型。这些规则可以根据特定的业务需求和风险因素进行制定。例如,金融机构可以根据借款人的收入、债务比率等因素制定贷款申请的批准规则。(3)统计模型阶段:统计模型阶段:随着数据的积累和计算能力的提高,统计模型开始在风险控制中得到广泛应用。统计模型使用历史数据和数学统计方法,通过分析变量之间的关系来预测未来的风险。其中一个常见的统计模型是信用评分模型,它根据借款人的个人信息、历史信用记录等因素,通过建立数学模型来评估借款人的信用风
56、险。(4)风险度量模型阶段:风险度量模型阶段:随着金融市场的发展和金融创新的出现,风险度量成为风险控制的关键要素。风险度量模型旨在量化和评估风险的大小和潜在影响。例如,风险价值模型23(Value-at-Risk,VaR)模型是一种常见的风险度量模型,通过30计算在给定置信水平下资产组合可能的最大损失来衡量市场风险。(5)实时监控和预警系统阶段:实时监控和预警系统阶段:随着金融市场的快速变化和风险的即时性,实时监控和预警系统变得越来越重要。这些系统通过实时获取和分析数据,能够及时捕捉到潜在风险信号,并发出预警。这使得金融机构能够更迅速地采取相应的风险控制措施,减少损失和风险的扩大。总的来说,风
57、险控制的发展历程表现为一个逐步演进的进程,从依赖工作人员的主观判断与经验,逐渐发展为规则模型、统计模型、风险度量模型以及实时监控和预警系统等多元化的阶段。这些不同阶段的风险控制方法和手段的不断改进和发展,为金融机构提供了更加高效且有效的工具,以更好地管理和控制各种风险,从而更好地保护金融机构自身的利益。3.3.风险控制的最优化模型风险控制的最优化模型风险控制模型是用于评估、量化和管理风险的工具和方法。这些模型基于各种数据、指标和技术,通过分析风险因素、预测风险损失和制定风险控制策略来帮助金融机构、企业和个人进行风险管理。VaR 是一种常用的风险测量和管理方法,用于评估投资组合或资产在给定置信水
58、平下的最大可能损失。VaR 指标测量的是在一定时间内的最大潜在损失金额。VaR 模型基于历史数据、统计分析和概率理论,能够提供对投资组合的整体风险水平的估计。31对于投资者而言,“风险”不仅仅只和金融产品的波动有关,它实际上更在意发生损失时损失的幅度,幅度越大,投资者所遭受的打击也就越大。相反,超额收益的幅度却没有类似的效果,多数投资者更偏爱那些可能存在大幅超额收益的金融产品。因此,相较于无法确定波动方向的方差和标准差,VaR 值能够更好地捕捉投资者所希望的尽可能减小的下行波动。条件风险价值 CVaR(Conditional Value at Risk)是基于 VaR的一个衡量风险的指标,它相
59、较 VaR 有着更好的度量意义上的性质,CVaR表示金融产品在既定置信水平下,损失超过 VaR值时的期望损失。对于一个给定的置信水平,投资组合?的?t?为:?t?)=?)?投资组合?的?t?定义为:?t?=11?t?其中:?t?)?11?)?t?)?t?)?)?=?t?)1?)?t?)?)?t?)即一个投资组合的 CVaR 总是大于等于它的 VaR。考虑下面的辅助函数:?)=?11?)?)?)?32其中t?=?t?t?。这个方程可以看成?的函数,并且?t?)是?)关于?的最小解,?t?)是关于?的?)的最小值。因此,为了在?上最小化?t?),需要同时最小化关于?和?的函数?),即:?t?)=?
60、)X 为可行的投资组合集。通常在模型中,计算随机事件的联合密度?)是不可能的。但是,可能许多情境?=1?.?这可能呈现随机事件的一些历史值或是通过计算机模拟得到的一些值。假设所有的情境有相同的概率,可以得到函数?)的如下逼近:?)=?1?1?)?=1?)?)?引入人工变量?来代替?)?)?,得到:?1?1?)?=1?s.t.?=1?.?)?=1?.?当风险测度是 CVaR 时,所对应的优化问题为:?t?s.t.?t?)?=1?.?其中,是计算 CVaR 的不同置信水平的指标集,?是置信水平为?的 CVaR 的最大允许值。同样的,可以用?)代替约33束问题中的 CVaR 函数,再用随机事件的情境
61、来逼近这个函数。使得 CVaR 约束问题有以下的逼近形式:?t?s.t.?1?1?)?=1?=1?.?=1?.?)?=1?.?该优化模型可使用随机规划模型进行求解。(六)信用评分(六)信用评分1.1.信用管理与信用评分的定义信用管理与信用评分的定义作为现代经济的核心要素,债权人与债务人之间的信用关系在每个个体及企业的经济活动中扮演着至关重要的角色。这些信用关系错综复杂地交织在一起,共同构成了社会经济的基石。然而,信用风险及其相关的投资风险也是现代经济社会中潜在的巨大风险,一旦失控,可能引发严重的经济损失和社会动荡。例如在 2008 年,美国次级住房信贷的信用风险引发了金融市场信用衍生产品的投资
62、风险,最终演变成了一场席卷全球的金融危机,对全球经济发展造成了重大冲击。因此,对于信用风险的有效管理和预防是维护经济社会稳定的重要任务之一。只有在构建一套健全且严谨的信用管理体系的基础上,才能建立起稳定可靠的信用关系,并确保现代市场经济持续发展和运转。这种信用关系也是支撑信用交易的关键要素。为了满足从事34信用活动的机构和个体对信用信息的特定需求,专业化金融机构可以依法收集、调研、保存、整理并使用企业及个人的信用信息,从而在金融业务决策中提供必要的辅助。除了提供类似于征信报告的服务外,信用评分也是金融决策过程中的重要工具。它是通过一个数学模型计算得出,能够预测用户在未来一段时间内发生信用账户违
63、约的可能性,并以整数分数的形式展现。一般来说,信用评分越高,预示着未来违约的可能性越低。在具体的业务决策环节中,信用评分也具有重要的作用。例如,在金融信贷业务中,风险控制系统主要分为贷前、贷中和贷后三个阶段。在贷前阶段,主要任务包括防止欺诈、对用户进行信用评级以及确定适当的信贷定价。在这个过程中,信用评分模型可以辅助决策,结合用户的社交数据、行为数据、收入数据等多方面信息,评估用户的信用风险等级、履约能力和欺诈风险。在贷中风控环节,针对已放款的用户进行管理,同样可以使用评分卡模型辅助客户管理和运营策略的制定。而在贷后阶段,针对逾期用户的管理和催收工作,同样可以利用信用评分来进行有效决策。2.2
64、.信用评分开发的步骤信用评分开发的步骤信用评分的开发可以被分为以下八个主要步骤:(1)目标变量定义目标变量定义:定义评分模型 Y 变量的信用风险事件与表现窗口时长。时间轴以观测时点分为观察期(用户在这段时35期的数据被用来构造评分模型自变量 X)与表现期(用户在这段时期的信用账户逾期数据被用来构造评分模型目标变量 Y);(2)样本选择样本选择:定义评分排除人群、评分模型的开发与验证样本;(3)子群划分子群划分:对全样本划分子群,并对每一个子群单独建立模型,提升评分模型效果;(4)信用属性构建信用属性构建:信用属性作为自变量 X 被用于评分模型开发;(5)模型拟合模型拟合:经过信用属性的初选、转
65、化、在模型中进一步的变量选择、相关性检验等一系列步骤,确定最终模型中使用的自变量以及对应的参数估计值。模型的输出为用户未来违约概率的预测值(介于 0 与 1 之间的数值);(6)模型验证模型验证:在独立样本上验证模型预测值的区分能力、精准度,以及模型预测值分布的稳定性。区分能力的重要性早已经被人们熟知,但精准度实际上同样重要,因为评分模型的精准度会直接影响到相关风控策略的有效性;(7)分数映射分数映射:模型的输出为用户未来违约概率的预测值(介于 0 与 1 之间的数值),但通常在使用中,习惯以一个整数分数反映个人信用风险的高低。因此,需要将模型直接输出的概率预测值通过数学公式(一个单调函数)转
66、化为整数评分值;(8)负向原因负向原因:为每位具有评分的用户生成几个导致分数较低的可解释的关键性原因。36在众多国家和地区的信贷业务中,监管机构强制要求金融机构向用户提供至少一个其信用评分未达到最高分的原因。此类原因可能包括以往的严重逾期情况、过短的信用历史、过高的负债以及过多的借贷查询次数等。这一举措旨在为用户指明改进个人信用记录的方向,从而获得更优质的信用评分。实际上,信用评分开发完毕后还有以下两个非常重要的步骤。评分上线前的验证:确保技术开发人员正确实施评分所用到的信用属性以及模型算法。评分的定期监控:定期监测评分在最新样本上的表现,与模型开发或验证样本相比判断评分的区分能力是否有下降、
67、精准度是否有下降(尤其是评分是否会低估用户的信用风险)、评分分布是否稳定(如果评分分布有明显变化,会直接影响到用户贷前授信与贷中借款的通过率)。根据监控结果决定是否需要优化,甚至重新开发评分模型。3.3.标准评分卡最优化模型标准评分卡最优化模型标准的信用评分卡模型是利用逻辑回归模型将相关的数据变成评分分数,进而辅助信贷风控决策。逻辑回归模型利用极大似然估计法,在数学上求解如下的优化问题:?1?th?1?)?并由此得到对发生概率和风险几率的预测:?=11?)37?th?t?)=?th?1?)=?)这里?,?,?,?和?分别是系数,第?个样本特征,总样本数,总特征数和对应表现的二值化标签。而?=?
68、=1)和?分别是?=1 的预测概率和截距项。从对数风险几率的表达式可以看出,逻辑回归模型是一种广义线性模型。在信用评分卡模型中,变量一般不使用它的原始形式,而是会进行变量变换操作。连续变量会首先进行分箱操作,划分成一组区间,分类变量也会进行分类归并,这样可以降低极端取值的影响,增强模型的稳定性。在信用评分卡模型建模流程中,还会进一步将进行证据权重编码(Weight of Evidence,WOE)。这种编码方式会把变量某种取值下的样本对应的风险转化成对数取值,实质上是将对应的风险几率线性化。WOE?=log?Bad?Bad?Good?Good?)=log?Bad?Good?Bad?Good?)
69、这里,?是变量的第?个分箱或类别,Bad?和Good?是此类中二值化表现标签对应的样本数。不难看出证据权重编码和逻辑回归模型中对数风险几率的联系。在证据权重编码变化下,编码取值反映了目标表现和变量取值之间的联系,编码取值的正负直接对应了风险几率的高低。所以在具有良好业务可解释性的模型中38都要求,逻辑回归模型的线性部分系数?=?1?.?.?)满足?。然而如果模型使用的变量具有较强相关性时,模型就不能满足这样的性质要求,得到的模型在可解释性方面存在缺陷,一般不被信贷风控业务应用所接受。因此,在实践中需要经过特征筛选,在保证模型在稳定性和有效性的同时,满足模型的可解释性,从而获得业务应用认可。模型
70、特征筛选,一般都会利用特征与目标表现变量的相关性。而在信用评分卡模型中,通常使用特征信息值(Information Value,IV),来衡量单个特征对目标变量预测的重要程度。其计算方式基于证据权重编码:?=?t?t?tt?tt?)?这里?是单个变量对应的不同取值总数。信息值具有这样的性质,信息值越高,特征的目标预测能力越强。在信用评分卡模型特征筛选中,当特征信息值小于 0.02 时,一般认为特征对风险表现预测能力很弱,不作为模型使用的特征。另一方面,特征之间的相关性较高时,一般只保留信息值高的特征作为入模特征。然后根据一些给定的规则或者人工经验来进行进一步的建模和特征筛选迭代。最终入选模型的
71、特征确定并训练得到模型后,再根据信贷业务需要,给定参数?和?,就可以利39用如下的评分公式,得到形如表 1 中的标准信用评分卡。表 1信用评分卡示例评分项取值分数基础分年龄收入.5550K.450+5+15+25-5-10+5+40+80.三、量子计算基础量子计算是利用量子力学理论进行计算的一类技术,包括量子计算机软硬件系统和量子算法两个核心组成部分。其中,量子计算机硬件系统的基本单元是量子比特,它和操作量子比特的量子门共同构成了量子线路。由于量子比特具有高度的并行性,因此可以实现二次加速甚至是指数级的加速效果。然而,量子计算机的基本运算过程与经典计算机存在显著的差异,因此需要采用专门的量子算
72、法进行计算。当前,已经开发出了多种量子计算模型,例如量子电路模型、绝热量子计算模型等。尽管量子计算技40术具有巨大的潜力,但当前实现大量量子比特仍然面临挑战。(一一)量子)量子计算机系统计算机系统传统计算机系统包括硬件系统和软件系统两部分。其中硬件系统主要包括中央处理、存储器以及其他外部设备。软件系统则是为运行、管理及维护计算机而编制的各种程序、数据以及文档的总称。当前,量子计算这一新兴计算模式在通用体系结构方面尚未达成统一,且在硬件层面的技术路线也未最终明朗,因此现阶段对于量子计算机系统的研究和探索主要基于现有的技术以及传统的计算机系统。为了充分发挥量子计算的优势,量子计算机需要与特定的量子
73、算法进行配合使用,这就需要对量子系统的相干性、叠加性、并行性、纠缠性以及波函数塌缩特性进行充分的利用。因此,量子软硬件之间的协作是必不可少的。1.1.量子计算机硬件系统量子计算机硬件系统量子计算机硬件结构主要由量子芯片、量子芯片支持系统和量子计算机控制系统组成24。量子芯片是量子计算机的核心,包括量子比特的物理实现结构及其他必要的信号传输线路。根据不同的技术路线,量子芯片具有多种不同的形态,例如超导量子芯片、半导体量子芯片以及离子阱、拓扑和光量子等其他量子计算体系的实现。量子芯片的主要性能参数有量子比特数量、相干时间和保真度。其主要功能便是承载量子比特信息及其演化过程。量子芯片支持系统用于提供
74、量子芯片所必需的运行环境。当41前量子芯片的运行环境具有一些特定的要求,如极低的环境温度,极低的环境电磁辐射等,需要特殊的硬件系统来实现。量子芯片支持系统便是提供能维持量子芯片运行的基本环境。量子计算机控制系统,用于实现对量子芯片的控制,以完成运算过程并获得运算结果。量子计算机控制系统提供的是以下两个关键问题的解决方案:如何将运算任务转化为对量子芯片中量子比特的控制指令;以及如何从量子芯片上量子比特的量子态中提取出运算结果。其背后的基础是,如何实施量子逻辑门操作,以及如何实施量子比特读取。量子逻辑门操作的本质是使一组量子比特经过指定的受控量子演化过程。实施这样的受控量子演化过程,需要借助精密的
75、脉冲信号,通常可以使用高速任意波形发生器、商用微波源、混频线路等的组合来实现。当然,通过对光场、磁场甚至机械声波的调控,也可以在某些量子芯片体系中实现量子逻辑门操作。量子态的读取有多种方式,但考虑到需要读取量子芯片中某个或者某组量子比特的量子态,必须要使用一种称之为非破坏性测量的方式,以消除因测量导致的反作用。通常采用的方法是在量子比特结构旁边设计一个对量子态敏感的探测器,通过探测探测器的响应来间接推测量子比特的量子态。2.2.量子计算机软件系统量子计算机软件系统量子计算机软件系统目前包括量子计算程序以及量子计算机操作系统。由于量子计算的实现逻辑与经典计算有所不同,经典计算软件不能完全移植延续
76、,因此量子计算基础运行类、计算42开发类和应用服务类软件均需要在量子计算框架下进行重新构建。量子计算机程序现阶段主要为实现一些量子算法的计算,例如传统的 Shor 算法、Grover 算法等,以及新兴的量子机器学习算法等。开发者和研究者们大多使用“量子线路图”、“量子计算汇编语言”、“量子计算高级编程语言”的方式,进行量子计算机程序的编程工作。量子计算机操作系统是量子计算机最为基础的系统软件之一,最近一些研究人员和开发者也进行了布局和开发。量子计算机操作系统主要职责为量子硬件设备的管理,量子计算资源的调度和优化,以及提供用户使用的服务接口。(二二)量子)量子计算模型计算模型1.1.量子电路模型
77、量子电路模型量子线路,也称量子逻辑电路,是最常用的通用量子计算模型之一。它是对于量子比特进行操作的线路,组成包括了量子比特、线路(时间线),以及各种逻辑门。最后常需要量子测量将结果读取出来。量子线路既包含了组合逻辑,又包含了时序逻辑,每个“导线”携带逻辑量子比特信息,传输到量子门操作中来进行对量子比特的作用25。量子电路模型通常通过电路图来展示,导线通常表示为水平的直线,量子逻辑门从左到右沿着导线排列,量子门操作通常表示为矩形块26。432.2.基于测量的量子计算模型基于测量的量子计算模型通常情况下,基于测量的量子计算模型默认为 2001 年Raussendorf 和 Briegel 提出的单
78、向量子计算(One-Way QuantumComputation,1WQC)模型27,28。与量子电路模型通过门操作来得到目标量子态不同,1WQC 模型通过三个步骤来实现量子计算过程。首先系统初始制备 1 个可用于普适量子计算的特定纠缠态,一般称呼为“普适资源态”,并划分为 S1 和 S2 两部分。然后依次对 S1 部分执行适应性的单量子比特测量,即该过程中的测量操作都是作用在单量子比特上的,且后一步测量操作的设置依赖于前一步的测量结果。最后根据测量 S1 的结果,对作为输出态的S2 部分执行局部的泡利操作 X 和 Z,从而确定性的得到目标态,这一步也叫做泡利修正。如果还需进一步读取该输出态的
79、测量结果,那么泡利修正可直接吸收到对输出态的测量操作中29。3.3.绝热量子计算模型绝热量子计算模型绝热量子计算模型30是一种依赖于绝热理论进行计算的量子计算模型。如果一个哈密顿量的基态描述了所感兴趣的问题的解,就可以通过绝热量子计算来获得这个解。首先准备一个具有简单哈密顿量的系统,并将其初始化为基态。然后将该简单哈密顿量绝热演化为所需的目标哈密顿量。根据绝热定理,系统保持基态,因此在最后系统的状态描述了目标问题的解。这便是绝热量子计算模型实现的过程,且已被证明在电路模型中与传统量子计算在多项式上等效。444.4.拓扑量子计算模型拓扑量子计算模型拓扑量子计算模型31是利用拓扑系统来存储量子信息
80、并进行量子计算的一种模型。这种系统由具有特殊性质的称为“任意子”的准粒子构成。任意子的相位交换可产生等同量子逻辑门的作用效果,从而实现量子信息的处理,完成相当精确的量子计算过程。(三三)量子)量子计算机物理实现与挑战计算机物理实现与挑战1.1.物理实现物理实现目前量子计算机的发展还处于起步阶段,多种技术方向均在进行探索,主要包括超导量子、离子阱量子等方案。超导量子计算是基于超导电路的量子计算方案,超导量子比特利用约瑟夫森结在低温下的非线性效应,构造出电荷量子比特、磁通量子比特和相位量子比特等32。根据芯片设计思路和所选用耦合、布局扩展方式,阵列式的扩展方案实现的一维或者二维阵列,有利于实现量子
81、算法编程,环绕式的扩展方案有利于实现最大纠缠和全耦合。物理学家提出了多种基于超导电路的量子比特形式,最常见的是 Transmon 比特和 Fluxonium 比特。超导量子电路在设计、制备和测量等方面,与现有的集成电路技术具有较高的兼容性,对量子比特的能级与耦合可以实现非常灵活的设计与控制,极具规模化的潜力。由于近年来的迅速发展,超导量子计算已成为目前最有希望实现通用量子计算的候选方案之一。由于经典计算机主要基于半导体技术,基于半导体开发量子45计算也是物理学家研究的重点领域。相比超导量子计算微米级别的比特大小,量子点量子比特所占的空间是纳米级别,类似于大规模集成电路一样,更有希望实现大规模的
82、量子芯片。现在的主要方法是在硅或者砷化镓等半导体材料上制备门控量子点来编码量子比特,半导体量子点是把激子在三维空间上束缚住的半导体纳米结构。通过向纯硅中加入电子,科学家们造出了硅量子点这种人造原子,并运用微波控制电子的量子态。编码量子比特的方案多种多样,在半导体系统中主要是通过对电子的电荷或者自旋量子态的控制实现33。离子阱量子计算在影响范围方面仅次于超导量子计算。离子阱的技术原理是利用电荷与电磁场间的相互作用力牵制带电粒子体运动,并利用受限离子的基态和激发态组成的两个能级作为量子比特的 0 和 1,离子阱是一种将离子通过电磁场限定在有限空间内的设备。单比特的操控可以通过加入满足比特两个能级差
83、的频率的激光实现,两比特操控可以通过调节离子之间的库伦相互作用实现33。2.2.面临的挑战面临的挑战虽然目前拥有几十个或者上百个比特的量子计算机已经实现,但是想要制造出可以有效工作的通用量子计算机对当前的科学研究来说仍然是一个不小的挑战。2000 年 IBM 的研究员DiVincenzo 提出了 5 条准则(即 DiVincenzo criteria),只有满足准则的物理体系,才有望构建出可行的量子计算机34:46(1)具有一个能够很好表征量子比特的可扩展的物理系统;(2)具备初始化量子态到初始态的能力;(3)具有远超量子门操作时间的退相干时间;(4)具有一套通用的量子门;(5)具有特定量子比
84、特的测量能力。在过去的十几年中,许多量子比特技术得到了显著的改进,但通往通用量子计算机的道路还面临很多困难。首先便是当前的量子比特表征会出现错误,较高的错误率导致计算误差太大从而失去实际使用意义。虽然目前纠错的方法已经在研究当中,但误差率还不能达到令人满意的范围。其次,量子比特的相干时间还比较短,可能导致一些大规模的算法无法在相干时间内完成,从而无法实现。下一个挑战便是量子比特规模的扩展,制造大规模量子比特的集成电路受结构设计和制造工艺等因素影响,目前还在相对缓慢的发展中,同时随着量子比特规模的增大,还会带来控制难度的增加。47四、QUBO 问题二次无约束二进制优化(Quadratic Unc
85、onstrained BinaryOptimization,QUBO)问题是指在二进制约束条件下寻找二次目标函数最小值的优化问题。特别地,QUBO 问题可以描述金融系统中的许多复杂和不确定的因素,如市场波动、资产相关性、交易成本等,而这些因素对于金融决策和风险控制是至关重要的。目前,QUBO 问题在金融领域中已经有诸多应用,例如投资组合优化、资产定价以及最优套利等。本章接下来的内容将具体介绍QUBO 问题的相关概念以及求解该问题的经典求解器和量子求解器。(一)(一)QUBOQUBO 问题的基本描述问题的基本描述1.1.QUBOQUBO 定义定义从数学上讲,QUBO 问题是求解下述二次目标函数的
86、最小值:?1?其中?是大小为?的对称矩阵,变量?1?为长度为?的二进制向量,即要优化的变量只能取值为 0 或 1。尽管其形式简单,QUBO 问题可以表示不同领域中的大量问题。有些问题可以自然地表示为 QUBO 问题,另一些问题经过转化后也可以表述为 QUBO 形式。QUBO 不仅仅应用于金融领域,也出现在其他领域中,包括物理学、经济学、交通管理和计算机科学等。参阅文献35了解自 20 世纪 60 年代以来此问题的研究概述。48QUBO 问题是 NP-hard 问题,理论上其真实最小值一般难以求解。然而在实践中,启发式方法给出的近似解已经足够良好,可以满足应用场景的需要。术语“无约束”是指,除了
87、要求解的是一个二进制向量之外,没有其他约束条件。然而,某些约束问题也可以通过添加惩罚项来转化为 QUBO 问题。特别是,具有如下形式的一般组合优化问题(CombinatorialOptimization Problems,COP):?.?.?=?=?1?2?.?)?1?通过将其线性约束替换为惩罚项,可被表示为 QUBO 形式,从而得到:?)?)其中?是一个大常数。并且注意到二进制变量满足?=?2。2.2.伊辛模型(伊辛模型(IsingIsing ModelModel)通过替换?1?2(其中?1?1?),QUBO 问题可以被重新表述为物理学中的伊辛模型的能量最小化问题:?=?其中常数?和?的值由
88、原始的 QUBO 确定。这种表述可以使问题更直接地适用于受物理启发的方法,包括经典解法,如数字49退火(DigitalAnnealing,DA)36和基于张量网络的方法37;以及量子方法,如量子退火器(例如 D-Wave 制造的退火器)和量子近似优化算法(Quantum Approximate OptimizationAlgorithm,QAOA)。3.3.HOBOHOBO 优化问题优化问题高阶二进制优化问题(Higher Order Binary Optimization,HOBO)是 QUBO 的一种推广模型,它的最小化的表达式如下所示:?其中?=1?2?且?是实系数。通过二次化过程,HO
89、BO问题可以转化为 QUBO 问题38。如果希望使用 DA 求解器,这样的转化非常必要,因为目前 DA 求解器只能处理 QUBO 形式的问题。需要注意的是,QAOA 或 VQE 量子算法可直接用于求解HOBO 问题,而不需要进行二次化。(二二)QUBOQUBO 的经典求解器的经典求解器由于 QUBO 问题的广泛适用性,多年来出现了许多强大的经典求解器。它们可分为以下几类:1.1.精确求解器精确求解器精确求解器是指能得到QUBO问题的真实最小值的求解器。虽然已经提出了许多精确求解器,但它们能够处理的 QUBO 问50题所包含的二进制变量都在 100 个以内。精确求解器的一个例子是分支定界算法,它
90、通过将问题分解为较小的子问题,系统地探索解空间。在每一步中,算法计算子问题的目标函数值,并修剪不能得到最优解的分支。有研究39已经提出了一种量子方法来加速分支定界算法,可以在经典算法的基础上实现近二次加速。不过在最坏情况下,该量子算法仍需要指数量级的运行时间,并不适用于求解大规模问题。2.2.启发式求解器启发式求解器启发式求解器可以快速找到 QUBO 问题的解,但不能保证是最优解,通常只返回近似解。启发式求解器一般可以处理包含1000 到 10000 个二进制变量的较大规模的问题。启发式求解器的一个例子是模拟退火(SimulatedAnnealing,SA),它从一个初始解开始,并通过随机翻转
91、二进制变量的值逐渐修正初始解。该算法以一定的概率接受更差的解。随着时间的推移,这个概率会逐渐降低,这使得算法能够有效地逃脱局部最优解。3.3.商业求解器商业求解器在金融领域,最先进的商业求解器是 Gurobi 和 CPLEX。它们在工业界和学术界的基准测试中被广泛使用。Gurobi 和CPLEX 都是优化引擎,为解决线性、二次和混合整数规划问题提供了广泛的算法和技术,特别适合于求解 QUBO 问题。它们高效且可扩展,并使用各种优化技术,包括精确方法、启发式方法和结合多种技术的混合方法。514.4.数字退火器数字退火器除了采用软件求解器之外,数字退火器也被应用于求解QUBO 问题。数字退火器是一
92、种专用于解决组合优化问题的硬件设备,在某些情况下,其表现要比最先进经典求解器更具竞争力,同时呈现出更好的性能40。(三三)量子量子求解器求解器由于 QUBO 问题可以被映射到伊辛模型,因此各种基于量子理论的方法都可以作为 QUBO 问题的求解器。这些方法将在本白皮书的下一章节中详细介绍。这里仅简要介绍其中几个较为受欢迎的方案:1.1.变 分 量 子 本 征 求 解 器(变 分 量 子 本 征 求 解 器(VariationalVariationalQuantumQuantumEigensolverEigensolver,VQEVQE)VQE 是一种混合量子-经典算法,最初用于寻找物理或化学系统
93、的基态能量。它可以通过将 QUBO 目标函数映射到量子系统的哈密顿量来求解 QUBO 问题,其中 QUBO 问题的最优解对应于系统的基态。将 VQE 应用于任何特定问题都需要设计一个量子电路(称为 ansatz)。电路包含可调参数,这些参数可通过梯度下降的方法借助经典优化算法进行调整。2.2.量子近似优化算法(量子近似优化算法(QAOAQAOA)QAOA 是一种混合量子-经典算法,用于解决组合优化问题。在 QUBO 问题中,每个二进制变量都被映射到单量子比特量子态,并且 QUBO 目标函数被编码在量子系统的哈密顿量(能量52函数)中。通过将初始哈密顿量和问题哈密顿量交替作用于系统上产生试探波函
94、数,使其相对于问题哈密顿量的期望值朝着目标函数相应的问题哈密顿量的基态演化,该基态就对应于 QUBO问题的最优解。QAOA 可以看作 VQE 的一个特例,其中 ansatz具有适用于组合优化问题的特定形式。与一般的 VQE 相比,对于给定的电路深度,QAOA 电路的可调参数也相对较少。3.3.量子退火(量子退火(QuantumQuantum AnnealingAnnealing)在此方法中,QUBO 问题的目标函数被转化为物理系统的能量函数,该函数可在量子退火设备上实现物理优化(而 QAOA和 VQE 可在基于门的量子计算机上运行)。这种量子退火设备是由诸如 D-Wave 公司开发的。随后,量
95、子退火设备将系统演化至其基态,该基态对应于 QUBO 问题的最优解。53五、量子优化算法金融领域涉及的优化问题众多,其中包括资产配置、投资组合管理、风险管理等业务,前文已经有所提及。然而,大多数优化问题仍未能被量子算法解决。目前,量子算法主要集中于解决组合优化问题,该问题在资产定价、风险管理、期权定价等业务中均有涉及。本章将详细介绍解决组合优化问题的量子算法,包括量子变分算法(Variational Quantum Algorithms,VQA)、量子变分虚时演化(Variational Imaginary time evolution,varQITE)、量子退火、量子近似优化算法、Grove
96、r 适应性搜索算法(GroverAdaptive Search,GAS)、HHL 算法以及光量子相干伊辛算法(Coherent Ising Machine,CIM)。(一)(一)变分量子算法变分量子算法VQA 算法并非一个具体的算法,而是一套算法框架。沿用此框架的 QAOA 算法,VQE 算法可以用来求解特定成本函数的最优化问题。由于 VQA 算法对噪声的抵抗性较强,并与经典神经网络较为相似,因此广泛受到学术界和工业界的关注。VQA算法可以用于投资组合优化,金融产品定价,因子特征选取等领域。1.1.算法介绍算法介绍变分量子算法是一类混合量子经典算法,旨在与 NISQ 时代的 量 子 计 算 机
97、 兼 容。该 算 法 框 架 基 于 参 数 化 量 子 电 路(Parameterized Quantum Circuits,PQC),如图 1 所示。这些电54路包含具有可调参数的量子门,并嵌入在经典优化循环中。经典优化过程期望寻找最优参数,以使得成本函数值(一般对应于某个哈密顿量的期望)最小。最终,在最优参数下,电路的输出态为给定问题的解。图 1 参数化量子电路框架VQA 将会选代下列步骤多次:(1)运行具有可调参数的量子电路。(2)测量电路的输出并计算与成本函数相应的问题哈密顿量的期望值。(3)通过经典优化过程更新参数,以最小化与成本函数相应的问题哈密顿量的期望值。VQA 的优势在于此
98、类算法高度可定制,可以应用于各种问题,从金融(例如,投资组合优化)到化学(例如,小分子模拟)和生物学(例如,蛋白质折叠),可以根据用户可用的量子处理器进行定制。VQA 框架具有极大的通用性和灵活性。在使用 VQA 来求解特定问题时,需要指定电路 Ansatz(即 PQC 的架构和设计)、参数更新方法(即经典优化器的选择)以及要优化的成本函数。55根据不同的设定,算法可能会被赋予不同的名称:算法名称详细说明VQA这个框架非常灵活,允许任意的 Ansatz,任意的参数更新规则和任意的成本函数QAOA41基于特定 Ansatz,但在具有有限量子比特连接性的设备上实现可能会很困难varQITE42基于
99、物理原理的特定参数更新方法VQE43将 VQA 应用于化学问题,基于特定Ansatz 和成本函数CVAR-VQE/CVAR-QAOA44针对组合问题的特定成本函数,以提高准确性和效率需要强调的是,VQA 的准确性和运行所需的时间(二者将会影响与经典算法相比的潜在优势)高度依赖于这些因素的选择。下面具体来介绍如何选择这些因素。2.2.AnsatzAnsatz 电路选择电路选择设计 VQA 时,需要指定要优化的参数化量子电路的结构。一般来说,任何具有参数化量子门的量子电路都可以使用,并且近年来提出了各种各样的 Ansatz。在选择给定问题的电路 Ansatz时,有两个关键考虑因素:(1)参数数量参
100、数数量:更多的参数允许 Ansatz 表示更广泛的状态类,产生更优的解决方案。另一方面,参数数量越多也使得优化过程更具挑战性。56(2)硬件设备上的易实现性硬件设备上的易实现性:虽然参数数量较多,深度较深的电路在理论上可能具有更好的性能,但它们在给定的硬件设备上的实现难度也相应地增加。对于金融应用,最重要且最常见的两种 Ansatz 是:(1)Hardware-EfficientAnsatz(HEA):HEA 是在目标量子硬件平台上更易实现的量子电路。例如,HEA 仅包含能够被直接实现的单量子比特和双量子比特门,并且双量子比特门的量子比特在硬件设备中相互连接。HEA 的缺点是,由于 Ansat
101、z 没有利用计算问题的任何结构或物理理解,因此在理论上,可能具有更少的性能保证。(2)QAOAAnsatz:与 HEA 相比,QAOAAnsatz 与待解决问题的优化模型紧密相关,也就是说,它是利用被解决问题的信息构造的。QAOA Ansatz 由多层交替的量子门(称为混合器(mixer)和驱动器(driver)组成。在电路层数较大时,具有精度的理论保证(尽管不具有效率)。与其他 Ansatz 相比,在给定电路深度的情况下,QAOAAnsatz 所需要优化的参数较少。另一方面,QAOAAnsatz 电路通常包含许多对量子比特之间的纠缠门,这可能难以在量子比特连接性有限的设备(如超导处理器)上实
102、现。此外,还可以利用自动化的量子结构搜索方案来构建具体问题自适应的电路结构45,46,更好的解决对应的具体金融问题。573.3.参数更新方法参数更新方法在 VQA 电路结构确定后,参数可由经典优化算法更新。一般来说,这些算法分为两类:(1)基于梯度的方法基于梯度的方法:这些方法使用成本函数梯度的信息来更新电路参数。常见的基于梯度的方法包括 Adam、SGD、共轭梯度和 BFGS。(2)无无梯度的方法梯度的方法:这些方法仅需要计算成本函数,不需要任何梯度信息。常见的无梯度方法包括 COBYLA、SPSA、Powell 和 Nelder-Mead。最近,有文献47提出了一种基于贝叶斯优化的全局无梯
103、度方法,在 QAOA 优化方面表现出良好的性能,优于 Adam、COBYLA 和 SPSA。优化算法的选择取决于其对噪声的容忍度和参数空间的形状。在实践中存在以下挑战:(1)非凸参数空间非凸参数空间:由于参数空间的非凸性质,通常情况下,优化 VQA 中的参数是一个困难的(NP-hard)问题。因此,虽然特定的优化器在任何特定情况下都可能比其他优化器表现得更好,但在最坏情况下,仍然难以找到参数的真正全局最优值,并且通常会找到对应于局部最优的参数。对于该挑战,一个有效的解决方法是,从不同的初始条件开始运行多个优化,以增加找到良好最终解的机会,尽管这会增加算法运行时间。(2)低效的参数更新低效的参数
104、更新:由于测量量子系统会导致它们的波函数坍缩,因此不可能通过实现诸如反向传播(用于机器学习)58等高效算法来计算梯度。相反,在真正的量子计算机上计算梯度时,需要通过在不同参数值处多次计算成本函数,如有限差分(Finite Differences)或参数移位方法(Parameter-Shift Method)。由于此类方法在计算成本函数时会受到散粒噪声的影响(即通过多次测量取平均值来估计),通常无梯度方法比基于梯度的方法更能抵抗噪声。使用哪种特定的优化器高度依赖于问题和噪声的具体情况,也取决于是在真正的量子计算机上运行量子算法或在模拟器上运行。在一项研究中48,SPSA 和 COBYLA 优于其
105、他一些无梯度方法,而在另一项研究中49,基于梯度或无梯度方法的优化器没有明显的性能差别。(3)贫瘠高原现象贫瘠高原现象:在 VQA 中,优化参数的另一个挑战是贫瘠高原现象,即随着量子比特数或电路深度的增加,参数空间变得非常平坦,最小值的范围变得非常狭窄。梯度消失意味着对于大多数参数值,很难找到改进的方向。贫瘠高原现象最初被观察到并解释为某些硬件高效 Ansatz 的随机初始化的结果50,也可能由噪声51、成本函数的选择以及 VQA 存在大量纠缠引起52。虽然贫瘠高原对 VQA 的可扩展性构成挑战,但仍有研究提供减少其存在的策略。4.4.成本函数选择成本函数选择成本函数由 VQA 所解决的问题确
106、定,最常见的成本函数采59用如下期望值的形式,?)?)其中|?)是 PQC 的输出量子态(对于固定的参数值?),?是一个厄米算符,通常表示为一些 Pauli 算符串的和。如果优化 问 题 的 解 被 编 码 为?的 最 小 本 征 值?,由 于?)?),最小化的成本函数给出了问题的解的上界。虽然期望值在解决与量子力学相关的问题(例如找到分子的最小能量)方面非常自然,但对于其他问题,可以定义更好的成本函数。特别是对于组合优化问题(在技术上,哈密顿量在Z-basis上是对角矩阵),实际上解是由多次实验的最小值(而不是平均值)来得到。这是所谓的 CVaR-VQE 和 CVaR-QAOA 方法的基础4
107、4。如?)?)一样的成本函数可能由许多项组成,每个项对应于?分解中的不同 Pauli 串。在实践中,如果?由?个项组成,那么可以通过分别估计每个项来计算上述期望值(尽管在某些情况下,可以使用方法同时计算多个项)。每个项的估计需要多次(通常数千次)测量 PQC 的输出。虽然在实际设备上并行这个过程具有挑战性,但它可能可以在某些经典模拟器上实现(见下文)。5.5.使用量子模拟器实现使用量子模拟器实现 VQAVQA当 VQA 在适当的经典模拟器上实现时,上述 VQA 的一些挑战可以被克服。例如,最近基于张量网络的模拟器TensorCircuit60支持许多最先进的机器学习范例,如自动微分(Autom
108、aticDifferentiation,AD)和向量化并行(Vectorized Parallelism,VP)。AD 使梯度能够高效计算,而 VP 允许并行多个计算,包括从不同初始条件开始的不同电路计算,以及对成本函数有贡献的多个项。虽然经典模拟量子电路仅适用于相对较小的量子比特数(一般不超过 25 个,但对于特定的电路结构,基于张量网络的模拟器可以支持更大的比特数量),但有效地模拟 VQA 是设计更好的量子算法的重要工具。(二)变分虚时演化(二)变分虚时演化算法算法VarQITE 算法主要用于求解偏微分方程,应用于金融衍生品定价领域。虽然 varQITE 算法并未用于求解优化问题,但由于其
109、沿用 VQA 框架,因此在本节对其进行介绍。1.1.虚时演化介绍虚时演化介绍在物理学中,虚时演化得到了长期的研究。在量子力学的标准实时表述中,由哈密顿量 H 描述的系统按照薛定谔方程演化:|?t)=eiHt|?)其中传播子eiHt是一个幺正算符。通过进行=it 的虚时间替换,虚时间演化由以下方程描述:|?)=A?)eH|?)其中 A?)是一个归一化因子,其对应的传播子e?H是非幺正61的,它不会引起波函数振荡,而是具有阻尼效应,它指数抑制更高能量的波函数。因此,通过在足够长的虚时间下演化系统,可以得到接近基态的状态。对于小规模系统,可以通过经典方式将?作用于初始状态来执行。然而,随着传播子大小
110、随量子比特数呈指数增长,这种方法无法扩展到更大的系统。值得注意的是,在标准虚时间演化中无需对参数进行优化。2.2.变分虚时演化介绍变分虚时演化介绍虚时传播子的非幺正性意味着它不能用量子电路表示,也不能在量子计算机上以简单的方式实现。有文献42通过提出变分量子虚时间演化(varQITE)来解决这个问题,该方法可在近期量子计算机上实现。在 varQITE 形式中,一个?量子比特量子态可由参数化的量子电路表示,即,|?)=?|?其中线路包含?个可调参数。状态的演化对应于参数的演化。varQITE 的关键思想是,参数的演化可以被物理学中称为McLachlan 变分原理的技术确定,该原理给出:?=?其中
111、?和?可以通过选择适当的量子电路进行测量来确定。一旦获得这些值,就可以通过对矩阵?求逆来确定参数的更新。尽管看起来与 VQA 形式不同,但实际上 varQITE 可以被视为 VQA 的一个特例,其中参数优化是针对所谓的自然梯度53进62行的,这是一种用于通过考虑参数空间中损失函数曲率信息来优化模型的概念。在 varQITE 的实践中,有许多需要克服的挑战,其中包括:(1)矩阵求逆可能对矩阵元素的小误差敏感。因此,估计?可能需要高精度,这反过来又增加了所需的量子电路计算的数量。(2)与一般变分量子算法一样,方法的最终精度取决于Ansatz 的选择,可能难以预知什么样的 Ansatz 结构能够达到
112、问题所需的精度。varQITE 对误差的敏感性可能会限制可实现的电路深度,从而限制 Ansatz 的表示能力。有研究54提出通过硬件高效的 Ansatz 实现 varQITE 来解决这两个问题,避免了矩阵求逆的要求,而另一项研究工作55则引入了控制理论的方法来加速 varQITE 的性能。(三三)量子近似优化量子近似优化算法算法QAOA 算法是 VQA 框架中另一著名算法,与 varQITE 算法不同,QAOA 算法专门用于解决组合优化问题。其可用于投资组合优化,套利,因子特征选取等领域。1.1.量子近似优化算法量子近似优化算法简介简介2014 年,Edward Farhi 等人提出 QAOA
113、 算法。QAOA 算法是一种经典计算与量子计算的混合算法,可用于解决组合优化问题、最大分割问题等难题。该算法在解决某些 NP-hard 问题时有着加速的潜力。63在优化问题中,需要从许多可能的组合中寻找最好的组合。由于这类问题可被定义为能量最大/最小化问题,物理学特性可以帮助解决这类问题。QAOA 算法的核心思想与量子绝热演化类似,从一个初始哈密顿量的基态,逐步迭代演化至目标问题的哈密顿量的基态。哈密顿量是对一些物理系统能量的数学描述。当任何特定状态被输入到系统时,哈密顿量被定义为返回状态的能量。绝热演化是一种在经典和量子系统中均有广泛应用的控制策略。在量子系统中,它指的是将一个哈密顿量随时间
114、演化成另一个哈密顿量,将随时间演化的哈密顿量可定义为初始哈密顿量和最终哈密顿量两项的线性叠加,定义如下:?)=?1?)?)?其中?代表初始哈密顿量(Initial Hamiltonian),?代表最终哈密顿量(Final Hamiltonian)。最终哈密顿量的最低能量状态就是所解决问题的结果/答案。这一项也称为问题哈密顿量(Problem Hamiltonian)。T 代表演化的总时间。从初始哈密顿量的最低能量本征态开始,随着演化的进行,初始哈密顿量的影响将被减少。在结束时,量子比特处于问题哈密顿量的本征态(Eigenstate)。在量子演化过程中,最理想的情况是,量子比特始终都保持最小能量
115、状态。对于大多数非凸哈密顿量,寻找最小能量状态是一个经典计算机无法有效解决的NP-hard 问题。64在量子计算中,哈密顿量是一个把确定状态映射为能量的函数,只有当量子系统处于哈密顿量的本征态时,系统的能量定义为本征能量。而当系统处于其他任何状态时,系统的能量都是不确定的。定义了本征能量的本征态的集合组成本征谱。可以理解成哈密顿量就相当于一个矩阵,特征值就是能量,特征向量就是对应的本征态,不同特征值的特征向量之间相互正交。2.2.量子近似优化算法原理量子近似优化算法原理(1)组合优化问题在应用数学和理论计算机科学的领域中,组合优化是在一个有限的对象集中找出最优对象的一类问题。简单来说,组合优化
116、问题是指问题的所有解是由离散变量组成的,然后在离散的解集中寻找最优解。组合优化问题涉及的范围很广,且常见于实际生活中,例如飞机航线的设计、快递物流路线的规划等。数学上,一个组合优化问题可以由 n 个比特(Bit)和 m 个子句(Clause)描述。每个比特是一个二进制变量,其取值为 0 或 1,用 zj表示第 j 个比特的取值。因此,这 n 个比特的取值可以由比特串 z=z1z2z3.zn表示。每个子句都是对部分比特的一个限制条件,例如一个子句可以要求第 2 个比特的取值为 0,或者可以要求第 3 个比特和第 5 个比特的取值相同,等等。对于第 j 个子句,定义一个与之相关的函数Cj?z)=1
117、 如果 n 个比特的取值 z 满足子句 j 表明的条件?如果 n 个比特的取值 z 不满足子句 j 表明的条件65例如,如果第一个子句要求第二个比特的取值为 0,那么,有 C1?z1?z3.zn)=1 和 C1?z11z3.zn)=0。由上式中对于每个子句定义的函数?,可以定义该组合优化问题的目标函数:C?z)=j=1mwjCj?z)?其中?是第 j 个子句的权重(Weight)。组合优化问题就是要找到一个取值 z 使得目标函数 C(z)的值最大,即t?hmax?)在理论计算机科学中,有一个著名的问题叫作布尔可满足性问题(Boolean Satisfiability Problem,SAT),
118、它是指对于输入的一组 n 个比特和 m 个子句,判断是否存在一种 n 个比特的取值同时满足所有 m 个子句。而一个与之相关的优化问题叫作最大布尔可满足性问题(MAX-SAT),该问题是要寻找一种 n 个比特的取值以同时满足尽可能多的子句。(2)量子近似优化算法思想通过 QAOA 解组合优化问题,首先是将该问题编码为一个量子可解的问题,随后通过量子算法寻找近似最优解,并在最后通过测量解码得到经典答案。对于上述的一个组合优化问题,假设有 n 个比特和 m 个子句。QAOA 将这个问题转化为 n 个量子比特系统的优化问题,该量子系统的每个计算基态 z?1n对应着原问题中 n 个比特66的一种取值 z
119、。同时,对于原问题中的第 j 个子句,定义一个对角哈密顿量Hcj使其满足本征方程:?=?)?具体可以通过下式来构造哈密顿量Hcj:?=?1?)?例如,假设满足第 j 个子句的取值有 z?1)和 z?2),那么可以定义:?=?1)?1)?2)?2)由此,QAOA 将组合优化问题的目标函数 C 编码成了 n 个量子比特系统上的哈密顿量:?=?=1?并且构造的哈密顿量?满足本征方程:Hcz=j=1mwjHcjz?=j=1mwjCj?z)z?=C?z)z值得注意的是,假设原问题的一个最优解是 zopt,那么有:?t?t?=?t?t?)?t?=?t?)?t?t?=?t?)所以原组合优化问题的最优解相当于
120、哈密顿量HC的一个拥67有最大本征值的本征态:?t?=?t?因此,寻找原组合优化问题的最优解等同于寻找哈密顿量?的一个拥有最大本征值的本征态,即寻找一个量子态?使得:?=?zopt)?找到这样一个量子态?后,它很可能并不是一个计算基态,而是几个计算基态的叠加,这其中的每个计算基态都是原组合优化问题的一个最优解。因此,对?进行计算基上的测量,便能得到原组合优化问题的一个最优解。(3)工作原理QAOA 是一种利用量子计算来解决优化问题的算法。它的工作流程大致如下:步骤一:将优化问题转化为一个二进制约束优化问题。优化目标是最小化或最大化一个成本函数,其中约束条件与一些二进制变量相关。步骤二:将这个二
121、进制约束优化问题转化为一个量子约束优化问题。这通常是通过将二进制变量映射到量子比特来实现,并使用量子比特间的相互作用将约束函数转化为量子约束函数。步骤三:使用量子近似优化算法的基本构建块,即量子体系初始化、参数化控制、测量来解决这个量子约束优化问题。a.量子体系初始化是将量子比特的初始态设置为一个均匀叠加态,这意味着所有的状态都是等概率的。68b.在参数化控制步骤中,使用一组参数控制量子体系的发展。这些参数是通过对约束优化问题进行试错来确定的。参数在算法的每一步中都会发生变化。c.在测量步骤中,以特定基测量量子比特。根据测量结果,计算出当前的成本函数值。重复上述步骤直到找到满足约束条件的最优解
122、。注意,量子近似优化算法是一种近似算法,因此它不能保证找到问题的最优解。但是,它在解决许多实际问题时表现出良好的效果,并且是目前量子计算领域中应用最广的算法之一。3.3.参考电路参考电路首先,将每个量子比特初始化为叠加态,即:12?1)然后,对于算法的每一步,应用一组参数化的控制门来控制量子比特的概率。这些控制门由旋转门(如 RY 旋转门或 RX 旋转门)和相互作用门(如 CNOT 门)组成。最后,对所有量子比特进行测量,并计算成本函数的值。图 2 量子电路图 2 是 QAOA 算法基本电路图。实际上,在针对不同优化69问题或约束条件时,QAOA 电路会包含更多的门和量子比特,会有更多参数化控
123、制门。此外,为了提高算法的精度,可能会重复执行 QAOA 电路多次,并对测量结果取平均值。(四四)量子退火算法量子退火算法量子退火算法是一种通过模拟系统热力学演化来求解优化问题的算法。它不基于量子门原理,因此需要专用设备才能实现。量子退火算法也是罕见的在现实领域展现量子优越性的算法。在金融领域,量子退火可以应用于投资组合优化、资产定价、信用风险评估等方面,具有较高的计算效率和准确性。1.1.量子退火算法量子退火算法简介简介量子退火算法是从经典模拟退火算法基础上演化来的一种量子优化算法。与经典模拟退火算法利用热波动来搜索问题的最优解不同,量子退火算法利用量子隧穿效应,即量子具有穿透比其自身能量高
124、的势垒的能力,从而使算法摆脱局部极值,以更高概率逼近全局最优。目前,量子退火算法在组合优化类问题中已展现出良好的优化性能。模拟退火算法(Simulated Annealing,SA)的思想最早由Metropolis等人于1953年提出;Kirkpatrick等人于1983年第一次实现将 SA 引入组合优化问题中。模拟退火过程描述为在给定初温下,通过一定的进度表缓慢降低温度参数值,使得 SA 在搜索空间里能够找到最优解。1988 年,Apolloni 等人提出将量子物理机制用于求解全局最70优解的问题中,成为一种改进的模拟退火算法。由于量子隧穿效应,这种改进算法更易找到全局最优解,克服了传统模拟
125、退火算法的降温速度慢、耗时久以及计算量大等缺点。2.2.量子退火算法量子退火算法原理原理(1)原理原理概述概述最初,量子波动被应用于寻求经典物理系统的最低能量状态,即基态。这一探索的方法涉及引入一种称为穿透场(TunnelingField)或外部磁场的元素,以探索系统状态空间中的最低能量值。该搜索过程可被描述如下:起初,穿透场的能量被设定为较高数值,使粒子具有足够大的波动,能够在整个系统的能量空间中探索;然后,按照一定策略逐渐减小穿透场的能量,直至其降至零。这个穿透场可以被看作是动能项,与经典物理系统的势能场相互独立,因此不相互影响。在逐渐减小穿透场的过程中,确保了量子系统的稳定性,最终导致粒
126、子达到基态,即能量最低状态,也即待优化问题的目标函数的最终解。量子退火算法通过模拟上述过程来实现对目标函数的优化。(2)模型构成模型构成量子退火算法模型通常由两个主要组成部分构成:第一部分是量子势能,其主要目的是将量子优化问题与量子系统进行映射,将待优化的目标函数转化为作用在该量子系统上的势场。这个势场描述了量子系统中粒子在优化问题的影响下的相互作用。第二部分则是量子动能,它通过引入一个控制量子波动的穿透场,其71中的幅度是可控的。在这两个场的共同作用下,量子系统的演化可以通过以下薛定谔方程来描述:?|?)=?)|?)实际中,直接求解薛定谔方程难度很大,其计算复杂度随着问题复杂度的增加呈指数增
127、长,所以研究中通常采取随机过程来模拟量子退火,其中路径积分蒙特卡罗(Path Integral Monte Carlo,PIMC)是模拟量子退火过程的有效随机过程方法。?)=?t?)?)式中,量子哈密顿量 H(t)表示量子退火算法中的评价函数,?t?)表示势能,对应模拟退火算法的评价函数,?)表示动能。在动能中,引入了量子波动,其幅度最初设定为较大的值,然后按照一定的进度逐渐减小至零。这一过程描述了量子系统在评价函数的影响下,通过势能和动能的相互作用而演化的过程。(3)隧穿优势隧穿优势如图 3 所示,在经典的热退火情况下,系统要达到全局最小值,必须克服 O(N)的较大势垒E,其中 N 为系统的
128、大小(温度为 T 时,逃逸概率为 exp?)),而在量子退火的情况下,系统可以隧穿势垒。如果势垒较窄,隧穿概率为 exp?),其中为隧穿波动场,为势垒宽度。72Kadowaki 和 Nishimori 于 1998 年提出通过引入横向磁场构造量子波动,使得粒子具有量子隧穿效应,从而具有穿越高且窄势垒的能力,克服模拟退火仅能翻越势垒的缺陷。图 3 经典的热退火(4)工作原理工作原理图 4 量子退火和模拟退火的评价函数如图 4 所示,模拟退火算法只能通过翻越势垒的方式从局部73最小值 P 到达全局最小值 P;而量子退火算法凭借其量子隧穿效应,可以直接从局部最小点 P 到达 P。量子退火算法凭借其量
129、子隧穿效应来跳出局部最优,这也是与模拟退火相比的不同之处。因此,量子退火算法在某些问题上具有比模拟退火算法更好的性能。(5)常用模型常用模型量子退火算法的测试模型为横向场随机伊辛模型。许多组合优化问题都可以转化为对伊辛模型的表述,然后利用量子退火算法进行求解。横向场随机伊辛模型的哈密顿量函数可表示为:?=?=1?=1?其中,?为能量偏移度,?表示泡利自旋矩阵,?表示自旋量 i 和 j 之间的耦合度。根据伊辛模型的哈密顿函数,可以得到量子退火的哈密顿函数为:?)=?)?=1?公式中,代表场强,其诱导单个自旋状态向上和向下的转变,它和模拟退火算法中的温度 T 作用类似。任何表示为上述形式的优化问题
130、都可以由量子退火算法处理。(6)算法具体步骤算法具体步骤量子退火算法的具体步骤如下:74步骤步骤 1 根据待优化问题,构造量子系统的评价函数?=?t?,即量子哈密顿函数。其中,?t?为势能,即模拟退火算法中的评价函数,?为动能;步骤步骤 2 初始化各个参数,T0为量子退火的初始温度,为横向场强,变化的横向场强引起不同量子状态之间的量子跃迁,最大迭代次数为 MaxSteps,初始化状态为 x,对应的状态能量为?t?);步步骤骤3 随机微扰产生新状态x,对应的状态能量为?t?);步骤步骤 4 计算能量差?t?=?t?)?t?);以及?=?)?),如果?t?0 或者?0,则系统接受新解x=x,反之,
131、如果 exp(?/T)rangdom(0,1),则 x=x,否则,重复执行步骤 3;步骤步骤 5 进行退温操作,的变化和模拟退火中的温度 T 作用类似,横向场强变化形式为=?t?);步骤步骤 6 判断是否满足终止条件=0,如果满足,量子退火算法终止,否则,重复步骤 3。(五)(五)GroverGrover 算法算法Grover 算法作为一种著名的量子搜索算法,以其在无序搜索问题中实现二次速度加快的特性而广泛应用于各种搜索问题。尽管它本身并不适用于优化问题,但扩展为 Grover 适应性搜索算法后,可以将其应用于优化问题的求解。在本节中将介绍 Grover算法的基本原理和操作步骤。751 1.G
132、roverGrover 算法算法简介简介Grover 算法,又被称为量子搜索算法,是量子计算领域的重要算法之一,由 Grover 于 1996 年首次提出。它代表了一种具有二次加速的随机数据库搜索算法,其目标是充分利用量子计算机的潜力以加速数据搜索。在数据库具备足够混乱且没有特定数据结构的限制,也就是在非结构化搜索的情况下,Grover 算法能够快速解决从 N 个未分类对象中寻找特定目标的问题。以一个具体的例子来说明,考虑某地区的人口总数为 N,现在需要在这 N 个人中找到一个特定的目标个体 X。在传统经典计算机中,需要遍历这 N 个人,其时间复杂度为 O(N)。也就是说,最佳情况下可能需要一
133、次搜索就找到目标,但最坏情况下需要进行 N 次搜索才能找到目标个体 X。而利用 Grover 算法寻找目标 X,时间复杂度为 O?N)。2.2.GroverGrover 算法算法模型模型(1)Oracle 介绍在研究N个元素的搜索问题时,为了简化问题,假设N=2n。同时,也假设该问题存在 M 个可能的解。这意味着可以将这个搜索空间的元素用 n 个比特来表示。进而将搜索问题抽象成一个函数 f,其定义如下:如果第 x 个元素是问题的解,那么 f(x)等于 1,否则 f(x)等于 0。进一步假设存在一个特殊的量子 Oracle,它可以识别问题的解。这个 Oracle 被看作是一个黑盒,并且可以与辅助
134、信息比特 q76进行交互。在这个背景下,可以将上述问题的处理方式转化为对计算基的操作定义:?)可以看出,当 f(x)=1 时,q 发生翻转,否则保持不变。在量子搜索算法中,把 Oracle 量子比特 q 的初始态置为?|?|1?)2。如果 x 不是问题的解,状态保持不变,否则辅助信息比特发生翻转变为?|?|1?)2,其公式为:?12?1?)?12注意到 Oracle 辅助信息比特的状态在这个过程中没有发生改变。在量子搜索算法中,|?|1?2状态也会保持不变,Oracle 行为可以简化表示为:?1?)?(2)Grover 算法流程如下图所示,算法利用一个 n 量子比特寄存器,OracleWork
135、space 是执行操作 O 时需要的辅助空间,需要额外的辅助量子比特。算法开始于初始态|?n,对其执行哈达玛门Hn,使其处于均匀叠加态来表示搜索空间 N 个元素:?=1?=?1?77图 5 量子搜索算法电路示意图接下来,量子搜索算法进行迭代,通过多次应用 Grover 算子 G 的操作来寻找搜索空间中的目标状态,从而找到问题的解。Grover 算子的量子电路结构如下所示,它可以被分为两个关键步骤:步骤一:利用 Oracle 操作将目标态进行反向执行 Oracle 操作 O,?1?)?。步骤二:利用振幅扩大算法电路把反向的目标态再次进行反向操作并把振幅扩大。a.应用 H 门变换?b.执行条件相位
136、偏移,如果是目标态进行相位偏移,比如图示 x,如果不是目标态,就保持相位不变,如图 5 示?c.应用 H 门变换?Grover 算子中振幅扩大算法的条件相位偏移酉算子是2?I,由于?=?=1?=?1?,所以 a、b、c 三步组合的效果为:?2?)?=2?78因此 Grover 迭代 G 可以写成 G=2?O。图 6 Grover 迭代 G 的量子电路通过前述介绍,Grover 算法的搜索逻辑大致如下:首先,初始化一个均匀的叠加态,包括了所有可能的元素。然后,进行迭代操作,其中 G 操作用来翻转目标状态的相位(这是通过 Oracle操作实现的),随后通过相位偏移操作进一步增强目标状态的振幅。随着
137、多次迭代,量子态被逐渐旋转到目标状态。最后,通过测量,能够观察到目标解元素 X 的概率趋近于 1。在这个阶段,Grover 算法成功找到目标解元素 X。3.Grover 算法算法几何可视化表示几何可视化表示通过上面 Grover 算法模型的介绍,下面将以更形象化的几何表示进行解析,这里假设用x?表示搜索问题中所有解的和(M 个解),x?表示搜索问题中所有非解元素的和,定义归一化状态:?=1?=1?79所以初始态?可以重新表示为:?=?这个公式意味着搜索空间 N 个元素搜索空间通过非解元素空间叠加态和解元素空间叠加态的组合进行表示,这里简化为=a?b 表示,因此 属于由 和 组成的空间向量进行表
138、示,如图 7 所示。图 7 Grover 初始态通过以上 Oracle 的介绍,可以得出 Oracle 操作 O 可以转化为由 和 定义的平面上以 为法线对 进行反射即O a?b=a b ,从而获取目标态 如下图所示:80图 8Oracle 操作与 以 上 描 述 类 似,理 论 可 以 证 明 相 位 偏 移 酉 算 子2 I 作用可以在由 和 定义的平面上目标态以 为法线进行反射。图 9 G 操作如图 9 所示,通过多次 G 迭代后,目标概率振幅被放大趋近于 1,即目标态向量旋转到接近的位置,这时,通过计算基上的测量,将以很高的概率得到叠加态 的测量结果,也就是81得到搜索问题的一个解。(
139、六)(六)GroverGrover 适应性搜索算法适应性搜索算法纯自适应搜索(Pure Adaptive Search,PAS)是一种理论上的全局优化算法,其特点在于通过连续的可行解空间迭代搜索,每次搜索都能够产生比前一次更好的结果。Devore 等人56指出,实现特定解精度所需的预期迭代次数仅随问题维度线性增加。然而,如果缺乏目标函数的相关规律性条件,将抵消 PAS 的明显优势。然而,Grover 算法提供了一种生成 PAS 迭代的方法,用于构建特定条件下函数优化的算法,称为 Grover 适应性搜索算法(Grover Adaptive Search,GAS)。GAS 算法通过反复应用Gro
140、ver 搜索来寻找目标函数的最优值,该算法具有二次加速的优势。在金融领域中,GAS 主要用于投资组合优化领域。本节提供了一个使用 GAS 算法来解决 QUBO 问题的框架。首先,对 GAS 算法进行总体介绍,随后详细分析如何构建 GAS算法的 Oracle,以有效地解决 QUBO 问题。1 1.GASGAS 简介简介GAS 算法通过不断重复使用 Grover 搜索算法从所有比当前更好的解中随机抽样,以此不断迭代最终寻找到最优解。例如要求解minxXf?x),其中函数 f?X R,X?1n为 n 维二元变量。首先,预先设定一个初值 y,并通过构造 GAS 算法中的算符 A和 O 标记出满足 x
141、X 且 f?x)?y 的所有状态,接着应用 Grover搜索去找寻比 y 更优的值 f?x?),并令 y=f?x?),如此不断重复迭82代,直至遇到终止条件。具体流程图如图 10 所示。图 10 GAS 算法流程图虽然GAS算法的具体实现步骤可能因不同的问题而异57,58,但总体框架大致遵循另一项研究59。由于 Grover 扩散算子的相关内容在 Grover 的章节中已经详细介绍,因此本章节主要聚焦GAS 算法在求解 QUBO 问题中如何有效构造 Oracle 算符 O。2.2.OracleOracle 的构造的构造QUBO 问题在前文已经详细介绍,这里不再赘述,其数学模型大致如下:min?
142、1n?),?)=?,其中?。若使用 n 个量子比特表示自变量 x,m 个量子比特对?)的值进行编码,电路计算值?)mod 2?使用二进制补码表示。如833=011,第一个0代表正数,-3=101,第一个1则代表负数。要解决 QUBO 问题,首先需要考虑构建一个算子?,以在m 个量子比特上操作,制备出状态|?)?。由于采用了二进制补码表示法,因此可以轻松标记所有满足?)?的量子态,即最高位为 1 的量子态(表示负数)。因此,通过应用 Pauli-Z算子在最高位上,可以有效地标记目标态。因此,Oracle 可表示为?=?。这引出了构建算子?的关键问题,其构造将在以下小节详细介绍。3.3.算符算符A
143、y的构造的构造算符?的本质就是将函数值编码到量子态上,而相位估计算法包含将算子的特征值编码到量子态的功能。受相位估计算法启发,Gilliam 等60提出了量子字典方法,本章节也正是基于此来构造算符?。(1 1)单个整数值的编码实现单个整数值的编码实现回顾相位估计算法,设酉算子 U 具有一个特征值为e2i的特征向量|u,而值未知,相位估计算法的目的就是估计。相位估计一共使用两个寄存器,在第一个寄存器里包含初态为|?的 t 量子比特,第二个寄存器的初态为|u,且包含存储|u 所需要数目的量子比特。同时相位估计分为两阶段:其中第一阶段的电路图如下图所示:84图 11 相位估计算法第一阶段可以看到相位
144、估计以第一寄存器作为控制比特,将受控 U门作用在第二寄存器上。接着再对第一寄存器上的量子比特作用Fourier 逆变换,整体框架如下图所示:图 12 相位估计通过 Fourier 逆变换,得到了如下的叠加态:12?2?=?2?1?2?|?|?=|?|?此时再对第一寄存器进行测量即可以得到想要知道的?。在相位估计中,若|u 为 U 的本征态,那么对第一寄存器测量,将以概率 1 得到本征态|u 对应的本征值e2i中的。此时,若酉算子U为旋转门Ry?),由于Ry?2)具有一个本征态i2?12,其对应的本征值为cos?isin,因此,对特征值的编码隐式地85提供了对角度的编码。量子字典就是基于此,通过
145、构建角度与数字间的一一映射关系,进而利用去对数字进行编码和操作。对Ry?2),有e2i=ei,此时=2,若第一寄存器包含 m比特,即当其被测量时可以表示整数?2m?1?.?1?1?.?2m?1(这里为表示负数采用补码的形式,即最高位为符号位)。若选择=2 2m,即可以得到整数 1,因此将=2 2m作为底角。假设只要求得到整数,1 将是以底角的形式表示,对于任意的整数 c?2m?1?c?2m?1,c 则可以表示为 c 倍的底角。类似相位估计的量子电路,当 c=2,c=-2 时的量子电路分别如图 13,图14 所示。q?q2就相当于是相位估计中的第一寄存器,而q3则构成了第二寄存器,此时第二寄存器
146、选取的 U 为Ry?2),同时为得到Ry?2)的一个本征态,对q3作用 H 门以及 S 门。因此最后对第一寄存器测量即可得到 c,同时从图 13,图 14 中也可以看到,对于相反数的编码,仅需要改变旋转门角度的正负号即可。图 13 c=2 的编码量子电路86图 14 c=2 的编码量子电路若此时 c 为小数,得到的结果将是一个分布,而两个最可能的测量结果是与 c 最接近的两个整数。图 15 给出了 c=2.16 和m=3的概率分布,可以看到其中一个被观测到的概率至少为92%。图 15 c=2.16 的编码观测结果以上介绍了如何去编码单个常数,同时可以通过重复添加不同角度的?门以实现不同常数间的
147、加法。(2 2)多项式的编码实现多项式的编码实现通过上面的介绍,接下来就需要把 U?)应用到代表函数值|?上,把状态比特|?作为控制比特表示?)的输入。一般情况下,把酉算子 U 受控于|?中的集合?.?1 作用于|?可以被表示为:87?)|?|?=|?|?为编码xj,需要添加一个新的寄存器,称之为键寄存器(变量)。而对于相位估计中的第一寄存器,则称为值寄存器(系数)。例如要实现a12x1x2的编码,需要将系数a12放在旋转角度a12上,再通过键寄存器|xn的控制进而将目标函数值编码到相位,最后通过傅里叶逆变换再将其编码至量子态中。如图 16 所示,这里给出了2?1?2编码的量子电路实现。其中?
148、1为键寄存器,?2?3?则为值寄存器,?则为相位估计的第二寄存器。同时由于为二值优化问题,因此有?2=?。图 16 2x1x2的编码量子电路从而利用上述方法,得以实现表示?变量的布尔多项式:?)=?.?1t?其中,每个子集?.?1 均有对应的项?以及系数t。以上内容实现了布尔多项式函数的量子电路表示,即由多个?2?t)和?组成。至此,实现了对 QUBO 问题编码的88操作算符?,进而对于 GAS 求解 QUBO 问题的 Oracle 有 O=?。如此,通过该 Oracle 对问题进行标记后,再不断迭代使用Grover 章节中介绍的 Grover 扩散算子?,从而实现对 QUBO 问题的求解。(
149、七)(七)HHLHHL 算法算法HHL 算法的主要目标在于求解线性方程组,其广泛应用于多个量子机器学习算法,包括支持向量机和主成分分析等。HHL同样可以用于求解优化问题。这是因为一些经典优化方法,如拉格朗日乘子法,涉及矩阵求逆和乘积运算等过程,其本质与线性方程组的解相同。因此,将 HHL 算法与拉格朗日乘子法结合起来,成为解决优化问题的一种可能途径。尽管 HHL 算法在投资组合优化等领域具有潜在应用,但由于 HHL 电路的复杂性和结果提取的困难等问题,其受到的关注相对较少。1.1.HHLHHL 算法简介算法简介目前,大多数求解线性方程组的方法的时间复杂度都是多项式时间,随着数据量变大,所用的时
150、间也变得越长。Aram Harrow、Avinatan Hassidim 和 Seth Lloyd 于 2009 年提出 HHL 算法61。HHL 算法可以在对数时间复杂度Olog N s2k2下得到线性方程组Ax=b 的近似解,其中 k 代表线性方程组的约束个数,代表在输出结果中的附加误差,s 为 A 每行或每列最多 s 个非零项。算法89要求矩阵 A 是厄米矩阵。当转换为量子力学表达形式时,有公式?=?,其中由于 A 是厄米矩阵,所以有以下谱分解:?=?=?1?、?为矩阵 A 的特征值和特征向量。同理可以得到 A 的逆矩阵为:?1=?=?1?1?由于 A 是可逆的且厄米的,所以 A 的特征
151、向量是彼此正交,?可以使用 A 的特征向量的线性组合表示:?=?=?1?所以:?=?1?=?=?1?1?=?1?=?=?1?因此只要能求出特征值?就可以得到?的解。然而通过 HHL算法得到的?是一个叠加态,要获取?的准确值需要多次运行HHL 电路,获取每次的观测值,此时会失去 HHL 算法时间复杂度上的优势。所以应用 HHL 算法的情况基本上是并不需要?的准确值,而是使用?的信息。通常来讲,HHL 电路是一个更复杂电路的一部分,使用 HHL 输出的?的信息,用于后续电路的输入。2.2.HHLHHL 算法算法量子电路量子电路考虑图 17 的量子电路,量子系统存在 4 个量子寄存器,从上到下分为量
152、子寄存器 14,4 个量子寄存器初始态为?。量子90寄存器 1 作为受控翻转的目标比特,它的观测值用作是否接收HHL 所求解的判断条件。量子寄存器 2 有?个量子比特,用来保存 A 的特征值信息。量子寄存器 3 有?t个量子比特为辅助寄存器,用来协助算法的执行,执行前后的结果都是?,因此下述的所有描述忽略此寄存器。量子寄存器 4 有?个量子比特,作为?的输入以及最终算法的输出。图 17 HHL 电路3.3.HHLHHL 算法步骤算法步骤上图的量子电路主要由六部分组成,其中 15 部分为 HHL算法电路,分别表示 HHL 算法步骤如下:(1)装载输入装载输入将?的数据加载到量子寄存器 4 上,其
153、中?=2?:?=?=?=?1?(2)相位估计相位估计量子相位估计是量子计算中最重要的子程序之一,是许多量91子算法中的一个关键子程序。它的作用就是快速的估计一个酉变换的特征值。相位估计算法的原理以及电路图在上一节中已经展示,在此不再赘述。HHL 算法使用相位估计算法获取特征值信息,保存在量子态上,注意,经过相位估计后,量子寄存器 2 和量子寄存器 4 已经处于纠缠态,即对于每个 j,?和?是纠缠在一起的。?=?1?=?1?(3)受控旋转受控旋转HHL 算法使用受控旋转操作有效地将量子信息从量子寄存器提取到量子态的振幅中。在 HHL 算法中,受控旋转操作通过引入一个额外的辅助量子比特来实现将基态
154、值的倒数按比例提取到相应基态的振幅上。简而言之,受控旋转操作可以分为以下两个步骤。考虑一个量子系统,其中存在一个基态?和一个初始状态为?的辅助量子比特:i.设计一个关于该基态的函数?)(HHL 算法设计的是?)=?,其中?是一个归一化常数)ii.设计一个映射 R(即受控旋转),将附加量子比特由?映射到?和 1 的叠加态上,同时将函数值 f?j)提取到 1 的振幅上,此时,量子系统处于纠缠态?1?)2?)192iii.对附加量子比特进行测量,系统整体会进行坍缩,当测量结果为 1 时,原有的基态 j 会变成新的状态 f?j)j。经过受控旋转后,整体量子系统状态变化如下,R-C 表示受控旋转:?=?
155、1?=?1?1?2?1(4)逆相位估计逆相位估计目前量子寄存器 1、量子寄存器 2、量子寄存器 4 处于纠缠态,应用逆相位估计的作用是为了解纠缠,从当前的纠缠态中将量子寄存器 2 排除掉。?=?1?1?2?1?nl?=?1?1?2?1(5)结果获取结果获取经过逆相位估计后,目前只有量子寄存器 1 和量子寄存器 4处于纠缠态,当对量子寄存器 1 进行测量,测量会导致坍缩,如93果量子寄存器 1 测量结果为 1,量子寄存器 4 的结果如下,为了描述简洁,忽略了归一化系数:?=?1?与前文数学背景中?的表示可知此时量子寄存器 4 中的结果已经是 x 的一个估计值。如果量子寄存器 1 测量结果不为 1
156、,重新执行算法,直到观测结果为 1 为止。(八八)光量子相干伊辛机光量子相干伊辛机相干伊辛算法也是一种有效解决组合优化问题的量子算法,它利用量子特性和类似伊辛模型的物理系统来寻找问题的最优解。与量子退火算法相似,相干伊辛只能依托于专用设备,即相干伊辛机(CIM)进行实现。因此在本节中相干伊新算法的概念可以等同于相干伊辛概念。相干伊新算法在金融中主要用于组合优化问题、机器学习、金融分析、通讯网络设计等领域。1.1.相干伊辛机相干伊辛机简介简介相比于经典计算机依赖半导体集成电路进行计算,CIM 的独特之处在于其运算基于光学原理。具体而言,CIM 采用激光脉冲,这些脉冲通常用于光通信,作为量子比特执
157、行计算。CIM 的早期研究始于斯坦福大学教授 Yoshihisa Yamamoto领导的研究团队,于 2011 年发表的一篇论文62中提出了注射同步激光伊辛机的理念。其核心构成包括一个主激光器以及多个从94激光器,通过光纤等光学网络相互连接。多个从激光器实现同步注入主激光器所发出的光,通过借用注入光的能量来自主振荡,借助从激光器所产生的光的偏振态(如顺时针圆偏振光和逆时针圆偏振光)对应于伊辛模型中的自旋1,从而执行计算。多个从激光器之间还存在相互耦合,这是通过使用偏振片在它们之间实现的,以模拟伊辛模型中的相互作用。随着主激光器功率的增加,多个从激光器在达到一定的能量阈值后开始振荡并发出光。这些
158、振荡光的偏振方向组合具有最小的损耗,通过测量这些偏振方向,可以解决伊辛模型中的组合优化问题。这一理念在后续的论文63中得到了理论上的深入研究,最终在论文64中证明了其原理的可行性。这一注射同步激光伊辛机方案的一个显著特点在于从激光器的数量与量子比特的数量相对应。具体而言,要实现包含 1000个量子比特的计算任务,需要准备 1000 个从激光器。这可以通过 一 种 技 术,即 垂 直 腔 面 发 射 激 光 器(Vertical-CavitySurface-Emitting Laser,VCSEL)来实现,该技术已经得到广泛应用,尤其在光通信领域。然而,这一方案的最大挑战在于实现多个从激光器之间
159、的耦合,因为 N 个量子比特之间的相互耦合需要大约 N 的平方次操作,这在与光纤等设备的耦合过程中变得相当复杂。2.2.相干伊辛机发展及其相干伊辛机发展及其原理原理相干伊辛机的发展过程及原理如下:95(1)第一阶段CIM在注射同步激光伊辛机思路的基础上进一步改进,就出现了相干伊辛机(CIM)的概念。斯坦福 Yamamoto 教授等人提出了一种称为简并光学参量振荡器(Degenerate Optical ParametricOscillator,DOPO)的网络构建相干伊辛机,并使用非线性光学晶体代替上述从激光器65。DOPO 中引入了泵浦光,它是一束激光束,以非线性光学晶体作为输入。在晶体内,
160、非线性光学效应引发了一个明显的现象,即分裂出两束光:信号光和闲频光,它们的频率均为,相当于泵浦光频率 2的一半,且两束光的偏振方向相同。这两束光的量子状态处于光的“压缩态”,可以被看作是一个量子比特。与注射同步激光类型一样,可逐渐增加泵浦光的功率。当泵浦光相对较弱时,由 DOPO 产生的光呈现出“真空压缩态”,但当泵浦光的功率超过某个临界值时,所产生的光状态会过渡为“相干态”。这种由一个状态突然变化为另一个状态的“量子相变”现象,类似于水从液态到固态的相变。虽然在“真空压缩态”中,不能明确定义光的相位,但在“相干态”中可以定义相位,并将这一相位与自旋的1 相对应。在振荡阈值以下的区域,有一个“
161、真空区域”,而在振荡阈值以上,光的相位分裂为两个状态,即相位 0 态和态。CIM 的特征表明,利用这两种相位状态,即 0 态和态,可以被用来解决优化问题。(2)第二阶段光学延迟线型 CIM96在上述相干伊辛机原理的基础上,CIM 概念得到了发展6670,并成功实现 10,000 个自旋量子比特的伊辛问题的计算71,下文将解释其原理。图 18 光学延迟线型 CIM 实验装置示意图激光器所产生的光脉冲在长达 1 千米的光纤环路内进行旋转,每个脉冲的旋转对应于伊辛模型中的一个自旋,也即一个量子比特。在此环路内央,DOPO 中间有一个非线性光学晶体,其功能是诱导前文提及的量子相变现象。此后,通过利用光
162、学延迟线来建立自旋之间的相互耦合。光学延迟线可经由分光装置获得部分自旋光脉冲,然后经时间延迟和调制,将其返回注入原始光纤环路,从而促成光脉冲之间的相互作用,形成了相干的伊辛网络。然后,通过调节泵浦光的强度接近其阈值,实现自旋链的基态计算过程。97在实际的计算实验中,仅创建了一根光学延迟线,并成功地与相邻光脉冲的自旋相互作用,这对应于解决一个仅涉及“相邻自旋连接”的一维伊辛模型。尽管这只是一维伊辛模型的特例,但在实际实验中,成功地进行了 10000 个自旋的计算,证明了这一方法的可行性。然而,这项技术所面临的挑战在于要实现任意连接,必须增加光学延迟线的数量,需要 N 个延迟线以完全耦合 N 个自
163、旋。尽管相较于第一阶段需要?2个耦合的“注射同步激光伊辛机”,这种方法较为简单,但要实现数千根延迟线的精确控制仍然是不切实际的。因此,为了应对这一挑战,下一步提出了“测量反馈型 CIM”。(3)第三阶段测量反馈 CIM测量反馈型 CIM 在论文72中提出,值得注意的是,利用“测量反馈”这一方案,可以避开上述“需要精确控制大量光延迟线”这一挑战。98图 19 反馈型 CIM 实验装置示意图如上图所示,测量反馈型 CIM 的基本配置与光学延迟线型CIM 相同,但附加了测量仪器而不是光学延迟线。绕过光纤环的光脉冲的一部分被取出并测量其状态,然后,将测量结果输入到FPGA(现场可编程门阵列)的高速电子
164、电路中,高速计算伊辛模型中的交互作用。随后,将计算结果快速发送到调制器,通过调制器调制出反馈脉冲的状态,再把这一反馈光脉冲注入回光纤环路中,与在环路内部运行的原有光脉冲相遇,实现自旋的相互作用。这样就可以用一对测量仪和 FPGA 实现任意的自旋耦合,解决需要大量的光学延迟线问题。这种计算实验方案于 2016 年实现,有两篇论文73,74报道了实验结果,可以从这两篇论文中了解到 CIM 的实力与优势。993.3.相干伊辛机相干伊辛机的优势的优势相较于基于逻辑门的量子计算机,CIM 拥有丰富的自旋连接,并能够在室温条件下运行。迄今为止,采用超导和离子阱等技术路线的物理量子比特仅刚刚突破 100 的
165、数量水平,而适用于纠错计算的逻辑量子比特数量则远远不及 100。因此,一般的观点是,这些基于逻辑门的量子计算机要至少再经历 10 年的研发才能实际应用。相比之下,CIM 目前已成功实现了高达 10 万个自旋量子比特,并且这些自旋之间实现了全连接,都可用于实际问题的求解。在量子比特数量这一方面,CIM 表现出了压倒性的优势。不仅如此,CIM 已经着手实际商用化的探索。正因如此,CIM 已成为学术界和商界极为重要的量子计算方向之一。当前,一系列知名研究机构和组织,包括但不限于加州理工学院、哈佛大学、麻省理工学院、圣母大学、斯坦福大学、康奈尔大学、斯威本科技大学、东京工业大学、密歇根大学和东京大学等
166、,以及美国 NASA 的艾姆斯研究中心、量子计算软件公司 1QBit,都已经与 NTT Research PHI 实验室签署了联合研究协议。此外,与需要极低温度和超高真空环境的超导电路上的超导量子计算机相比,CIM 在室温和常压下运行,带来了巨大的成本优势。这是因为 CIM 不需要昂贵的稀释制冷机和液氦,也不需要在计算前花费长时间进行预冷。这一优势显著地扩展了 CIM100的真正应用范围。因此,眼下看来,尽管基于逻辑门的量子计算机仍在实验室中不断努力拓展其量子比特规模,CIM 更有望更快地实现商业化,发挥其巨大的潜力。六、量子金融优化前景与展望量子金融技术在金融优化领域的应用发展迅速,其算法不
167、断优化和完善。由于量子金融技术具有高速度、高精度和高安全性等优势,预计将为金融优化行业带来革命性的变革。然而,实际应用中,量子金融优化仍然面临诸多挑战。一些挑战源于量子技术的局限性。例如,在保持量子门高保真度和维持量子纠缠方面存在技术挑战。此外,量子算法需要进一步改进以满足实际应用的需求。另一些挑战则源于金融行业对量子技术的认知和投入不足。为了应对这些挑战,本章讨论了在实际应用中遇到的问题,并提出了一些建议,以促进量子金融技术的发展。希望通过这些建议,可以增强金融行业对量子技术的认识和投入,从而推动量子金融技术的进一步发展。(一)(一)技术挑战技术挑战在量子计算应用于工业规模的金融优化问题并体
168、现量子优越性之前,仍需解决一些关键的技术难题。这些难题包括:(1)量子硬件开发;(2)量子算法开发;(3)量子经典系统集成。1011.1.量子硬件开发量子硬件开发最亟待解决的挑战在于研制出具备足够数量级量子比特和低误差率的量子硬件,从而能够有效地运行本报告所述的算法。尽管当前最先进的基于门的量子计算机已具备 433 个量子比特,但其误差率仍然偏高,尚无法运行深度较长的量子算法。尽管量子比特的需求量取决于所实施的算法和待解决问题的具体要求,但通常仍需要增加可用的量子比特数目。以基本的QAOA 算法为例,每一个量子比特被用来编码一个单独的二进制变量。为了应对那些包含大量变量(每个变量都由多个量子比
169、特编码)的优化问题,那么就需要数千甚至更多的量子比特。更严峻的考验在于实现长量子电路的硬件需求。长量子电路执行期间发生的任何错误都可以通过量子误差缓解(QuantumError Mitigation,QEM)部分减少,这是用于改善量子算法输出质量的经典技术。另一种解决量子计算中误差的方法是采用量子纠错(Quantum Error Correction,QEC)技术。QEC 的基本思路是运用多个存在噪声的量子比特来共同编码一个单一的无噪声量子比特。然而,这种方法是需要付出一定代价的:每个无噪声量子比特需要上千个甚至更多个有噪声量子比特(具体数量取决于所采用的 QEC 方案),从而极大地增加了量子
170、计算机有效运行算法所需的总体量子比特数量。尽管 QEC 技术已经取得了一定的102进展,但是截至目前,基于 QEC 的完全容错方案尚未在实验中得到最终验证。2.2.量子算法开发量子算法开发尽管量子算法领域已经取得了显著的进步,但仍需进一步开发能够有效解决大规模金融优化问题的算法。(1)近期算法针对在 NISQ 设备上运行的 VQA 算法,需要深入研究以下方面:(i)电路 ansatz 设计的自动化,(ii)提高参数更新的效率,(iii)测试并提高算法在噪声下的性能,(iv)验证 VQA算法在更多量子比特下的可扩展性和可行性。这些方面的研究成果将有助于推动量子算法在实际应用中的进一步发展。(2)
171、容错算法对于需要大量纠错的量子计算算法,纠错量子操作的执行速度可能会比在经典计算机上执行的相关操作慢几个数量级。例如,在运行表面码的超导量子计算机中,实现某些门(例如多量子比特的 Toffoli 门,该门是许多大规模算法的关键组成部分)所需要的时间可能会比在经典计算机上操作的执行时间慢数万倍。因此,即使量子算法可以使用比相应的经典算法更少的步骤来解决相同的问题,但是每个步骤所需时间显著增长,可能会抵消掉潜在的优势。虽然,对于足够大的问题规模,量子算法可能会优于最好的经典算法,但是确定量子算法具有实际优势的应用场景至关重要。103对于那些加速优势不够明显的量子算法,在实际应用规模范围内有可能无法
172、体现出量子优越性。例如量子振幅放大算法只有在问题规模超出实用范围时才会比经典计算所花费的时间更少75,76。因此,研究应该集中在超二次(理想情况下是指数级)加速的算法上。特别地,在金融优化领域,需要重新评估先前提出的方法,并进行更深入的研究,以确定最有前景的应用领域。3.3.量子量子经典系统集成经典系统集成为了解决与工业相关的金融优化问题,量子计算机需要与经典计算系统集成,并且量子解决方案需要纳入标准工作流程中。一个关键性的要求是使金融专业人士能够应用量子计算。因此,需要具备可以与现有的金融优化框架和工具相适配的量子软件和编程语言。现已有企业初步采取了一些在此方向上的行动。例如,西班牙量子初创
173、公司 Multiverse Computing 已成功开发出了一个与 Microsoft Excel 相集成的界面,该界面允许用户在真实的量子硬件上运行简化的投资组合优化算法。然而,目前这项技术仍处在验证阶段,若要全面部署该界面以解决实际的金融问题,还需进行大量的工作。另一个相关的要求是,必须能够高效地将金融数据(其中包含需要定期更新的数据)加载到量子计算机中。虽然在这个领域已为 NISQ 设备做了一些初步的工作,例如美国初创公司 QCWare 提出了一种称为量子数据加载器的方法,但如何开发高效104的接口和协议,在量子和经典系统之间交换数据仍然是一个重大挑战。对于像 HHL 这样的容错算法的
174、使用,需要有在量子随机访问存储器(Quantum RandomAccess Memory,QRAM)中存储数据的能力,而开发功能性 QRAM 的技术仍存在巨大障碍。此外,数据敏感性也是需要考虑的重要因素,出于安全原因金融机构可能需要在现场部署经典和量子设备。(二二)人才挑战人才挑战科学技术的发展日新月异,已成为全球经济发展和社会进步的关键推动力。量子计算作为新一轮科技革命和产业变革前沿领域的杰出代表,能够有效地解决现代经济与金融发展面临的诸多具有挑战性的计算问题,已引起全球各大国的广泛关注。习近平总书记指出,当今世界的竞争实质上是人才竞争和教育竞争。因此,我国应更加重视人才自主培养,努力造就一
175、批具有世界影响力的顶尖科技人才,同时稳定支持一批创新团队,培养更多高素质技术技能人才和大国工匠。近年来,我国科技工作者在量子科技领域取得了一批具有国际影响力的重大创新成果,但仍存在诸多短板。特别是专业性和复合型的量子技术人才储备不足,这主要带来以下两大方面的挑战。1051.1.健全人才培养体系健全人才培养体系量子计算的研究方向至少包括量子通信、量子算法、量子程序设计、量子计算机体系结构、量子计算物理实现等多个层次,这些研究分布在不同学科领域,需要数学、物理学、计算机科学等多个学科的交叉合作,不仅需要科技人员具备过硬的数学、物理以及计算机等方面的专业知识,同时还需广泛的金融理论知识和丰富的金融行
176、业经验,而当前我国多学科融合教育体系并不完善,分科教学模式强调纵向的知识体系构建,忽略了不同学科之间的横向联系,跨学科的交叉融合研究尚有较大发展空间。坚持需求导向、能力导向、数字化导向,从高校量子计算学科设置、科研机构量子计算研究到企业量子技术实践,健全产、学、研一体化的人才培养机制以及标准化的人才认证体系迫在眉睫。2.2.培养实践型人才培养实践型人才科技的发展是为了解决人类面临的各种问题,推进量子计算落地金融业,解决技术与实用之间的结合问题尤为重要。量子计算应用的落地并非一蹴而就,要真正落实不仅需要对金融业务场景中的痛点问题深入剖析,还需要基于量子计算的特性进行严格的规划和设计,包括软硬件、
177、数学模型、业务数据的对接和转换等,过程十分复杂。由于缺乏商业化应用的驱动,国内少有量子金融相关的落地成果,金融机构可积极联合高校实验室、科研机构以及量子头部企业,加速孵化软硬件基础,以实际应用为落脚106点攻关克难,打造一批具备量子计算研发和落地能力的高端人才队伍,推动量子计算技术在金融业落地。(三三)机遇与展望机遇与展望通过为复杂问题提供更快、更有效的解决方案,量子计算有可能会彻底改变金融优化领域。尽管必须克服众多挑战,这项技术的前景仍然令人振奋。近期,许多机遇加速了相关人员对量子金融优化算法的理解和改进。特别是,在硬件开发方面取得进展的同时,可以利用以下发展趋势的优势:(1)混合量子-经典
178、神经网络;(2)高效的量子模拟器;(3)更多真实的量子计算机访问;(4)量子误差缓解与纠正的改进;(5)行业和量子供应商之间的合作增加。1.混合量子-经典神经网络近期变分量子算法可以被视为经典机器学习中使用的人工神经网络的量子版本。将量子计算与经典神经网络结合起来形成混合量子-经典神经网络(Hybrid Quantum-Classical NeuralNetworks,HQCNNs)的想法目的是利用两者的优势来解决目前量子设备无法处理的问题。在 HQCNNs 中,经典部分通常是一个标准的神经网络,如多层感知机或卷积神经网络,用于预处理输入数据并执行一些初始计算。两个系统之间的信息传输可以通过将
179、经典数据编码到量子状态中来完成,例如,在可调节量子门107的参数中。然后,量子部分的输出要么被直接测量,要么被反馈到另一个经典层,用于进行最终预测或执行额外的计算。如果人们有机会使用量子比特数目有限的量子计算机,可以使用HQCNNs 中的经典层将高维数据嵌入低维空间,维度降低后的数据可以在量子计算机中进行编码。这使得 HQCNNs 可以处理现实大小的数据向量。使用 HQCNNs 的另一个潜在好处是通过使用量子层生成量子特征向量来提高经典神经网络的性能,量子特征向量可能与经典特征向量有不同的表现力。然而,HQCNNs仍处于发展的早期阶段,需要进一步研究以了解其全部潜力。2.高效的量子模拟器可以通
180、过使用量子模拟软件显著提高开发、分析和改进量子优化算法的能力。虽然量子模拟软件已经广泛可用,流行的量子软件(如 Qiskit)用来建模和模拟量子经典混合算法的灵活性和效率并不理想,并且由于运行时间过长,使得在实际问题上模拟这类算法变得不可行。最近,基于高效张量网络的模拟器 TensorCircuit77发布,它能够高效模拟量子和混合量子-经典算法。TensorCircuit 支持最先进的机器学习范式,如自动微分、向量化并行、即时编译和 GPU支持,并且比其他可用的模拟器快几个数量级,这使得更复杂和更大规模的量子和混合量子-经典算法可以被测试。TensorCircuit还被用作高效化学应用级软件
181、 TenCirChem78的基础,为金融应用开发一个类似的软件包将有助于该领域新算法的开发。1083.更多的真实量子计算机虽然量子模拟器是研究量子算法的宝贵工具,但它们只适用于模拟相对较少量的量子比特。要了解量子算法在实际规模和相关性问题上的表现,需要在更大、更好的系统上测试它们。目前已经有越来越多的真实量子计算机通过量子云平台的访问方式开放给用户使用。一个优秀的量子云平台,通常需要具备下述三个最重要的特征:(1)高保真度的量子门和读出高保真度的量子门和读出:在未来几年,在有效的量子纠错可用之前,量子设备的性能将受到噪声和其他错误的限制。具有高保真度操作(如单量子比特门、双量子比特门和读出操作
182、)的量子计算机将能够运行更长的量子电路,从而运行更复杂的算法。(2)大量的量子比特数大量的量子比特数:少于约 25 个量子比特的量子电路是经典计算机可高效模拟的,因此要了解量子计算超越经典计算机的真正潜力,需要超越可模拟的量子比特数量。(3)用户友好的软件库用户友好的软件库:快速、方便地原型设计和测试新方法将加速改进金融优化的量子算法的开发。4.量子误差缓解与纠正虽然访问真实设备对于进一步理解金融量子算法是必要的,但近期的量子计算机相对容易受到噪声和退相干的影响,这限制了可以有效运行的算法规模。109如上所述,两种方法可以减少噪声的不良影响:QEM 与 QEC。QEM 是用于减少误差影响的技术
183、,而不一定纠正误差,各种方法已经可以实现。QEM 可以作为量子计算的预处理步骤;作为在计算过程中运行的电路中的修改;或作为量子计算完成后的后处理步骤。另一方面,QEC 将量子信息编码到更大的量子状态空间中,然后进行检测和纠正,其硬件要求超出了当前可用的范围。短期内,在完全实现 QEC 之前,有可能利用 QEM 来提高可以在真实设备上运行的量子算法的精度和规模(量子比特数和电路深度)。QEM 是一个活跃的研究领域,随着新技术的开发和推出,金融应用大规模实验的范围将会持续增加。5.逐渐增加的行业合作近年来,许多金融机构开始积极探索量子计算。随着可用的量子计算机的量子比特数和电路深度的增加,金融机构
184、有机会在更贴近实际业务的问题上验证量子算法的有效性,并将其性能与行业基准进行比较。为了确定具有实际量子优势的商业应用场景并实现经济效益,需要对当前最先进经典算法的性能进行深入了解,并且需要掌握如何将这些算法融入工业流程中。金融机构与量子科技公司之间紧密合作,发挥各自独特优势,共同探索量子金融应用场景已成为一种必然的发展趋势。随着合作的不断加强和深化,正逐步接近开发出具有实际价值的量子金融应用算法的目标。110七、七、参考文献参考文献1BENNETTCH,BRASSARDG.Quantumcryptography:Publickeydistribution and coin tossingJ/O
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